Номер 1194, страница 248 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 34. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1194, страница 248.

Условие.

1194. Четыре мальчика соревновались в нескольких (более одного) видах спорта. В каждом из видов спорта за одно и то же место начислялось одинаковое количество баллов (выраженных натуральным числом), причём каждое из мест (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) мог занять только один из участников. В конце этих соревнований выяснилось, что мальчики получили 16, 14, 13 и 12 баллов соответственно. Выясните, в скольких видах спорта они соревновались.

Решение.

Решение 2.

Пусть $n$ — количество видов спорта, в которых соревновались мальчики. Согласно условию, $n$ является натуральным числом, большим единицы ($n > 1$).

Пусть $p_1, p_2, p_3, p_4$ — это количество баллов, начисляемых за 1-е, 2-е, 3-е и 4-е места соответственно. По условию, это натуральные числа.

В каждом виде спорта участвуют четыре мальчика, и они занимают все четыре призовых места. Следовательно, общая сумма баллов, разыгрываемая в одном виде спорта, составляет $P = p_1 + p_2 + p_3 + p_4$.

Так как соревнований было $n$, общая сумма баллов, полученных всеми мальчиками, равна $n \times P$. По условию, итоговые баллы мальчиков — 16, 14, 13 и 12. Найдем их сумму:$S = 16 + 14 + 13 + 12 = 55$.

Таким образом, мы можем составить уравнение:$n \times P = 55$.

Поскольку $n$ и $P$ — натуральные числа, они должны быть делителями числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. Учитывая, что $n > 1$, возможные значения для $n$ — это 5, 11 или 55.

Теперь проанализируем возможные значения для $P$. Места (1-е, 2-е, 3-е, 4-е) различны, поэтому логично предположить, что за них начисляются разные баллы. Общепринято, что за более высокое место дают больше баллов, поэтому будем считать, что $p_1 > p_2 > p_3 > p_4$. Так как все $p_i$ — различные натуральные числа, их минимально возможные значения — это 1, 2, 3 и 4. Следовательно, минимально возможная сумма баллов $P$ за один вид спорта равна:$P_{min} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.Таким образом, должно выполняться условие $P \ge 10$.

Рассмотрим возможные значения $n$:

1. Если $n = 55$, то $P = \frac{55}{55} = 1$. Это противоречит условию $P \ge 10$.

2. Если $n = 11$, то $P = \frac{55}{11} = 5$. Это также противоречит условию $P \ge 10$.

3. Если $n = 5$, то $P = \frac{55}{5} = 11$. Это значение удовлетворяет условию $P \ge 10$.

Следовательно, единственное возможное количество видов спорта — 5. Мы также можем убедиться, что такая ситуация возможна. Например, если баллы за места равны $p_1=5, p_2=3, p_3=2, p_4=1$ (сумма равна 11), то можно подобрать такие результаты в 5 видах спорта, чтобы итоговые очки были 16, 14, 13 и 12.

Ответ: 5.