Страница 246 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Произведение чисел -2,5 и 2 умножьте на -10.

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия по порядку.

Сначала необходимо найти произведение чисел -2,5 и 2. Произведение — это результат умножения. Выполним это действие:

$(-2,5) \cdot 2 = -5$

Результат этого умножения отрицательный, так как мы умножаем отрицательное число на положительное.

Теперь полученный результат, то есть -5, нужно умножить на -10, как указано в условии задачи.

$(-5) \cdot (-10) = 50$

Результат этого действия положительный, поскольку произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

Ответ: 50

2. Число -2,5 умножьте на произведение чисел 2 и -10.

Для решения данной задачи необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала нужно найти произведение чисел 2 и -10, а затем умножить число -2,5 на полученный результат.

1. Найдем произведение чисел 2 и -10.
Произведение – это результат умножения. При умножении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.
$2 \times (-10) = -20$

2. Умножим число -2,5 на полученное произведение.
Теперь необходимо умножить число -2,5 на -20. При умножении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$-2,5 \times (-20) = 2,5 \times 20$
Чтобы выполнить это умножение, можно представить 20 как $2 \times 10$:
$2,5 \times 20 = 2,5 \times 2 \times 10 = 5 \times 10 = 50$

Таким образом, результат выполнения всех действий равен 50.
Ответ: 50

3. Найдите значение выражения $ -1,5x $, если $ x=4; -100; 0; -1; 0,2 $.

Чтобы найти значение выражения $-1,5x$, необходимо подставить в него заданные значения переменной $x$.

если $x=4$

Подставим значение $x=4$ в выражение:

$-1,5x = -1,5 \cdot 4 = -6$

Ответ: -6

если $x=-100$

Подставим значение $x=-100$ в выражение. При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число:

$-1,5x = -1,5 \cdot (-100) = 150$

Ответ: 150

если $x=0$

Подставим значение $x=0$ в выражение. При умножении на ноль любое число дает в результате ноль:

$-1,5x = -1,5 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

если $x=-1$

Подставим значение $x=-1$ в выражение. При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число:

$-1,5x = -1,5 \cdot (-1) = 1,5$

Ответ: 1,5

если $x=0,2$

Подставим значение $x=0,2$ в выражение:

$-1,5x = -1,5 \cdot 0,2 = -0,3$

Ответ: -0,3

4. Положительным или отрицательным является число a, если:

1) $-3a < 0$;

2) $\frac{1}{6}a < 0$;

3) $-0,7a > 0$?

1) Чтобы определить знак числа $a$ в неравенстве $-3a < 0$, нужно решить это неравенство относительно $a$. Разделим обе части неравенства на $-3$. Важно помнить, что при делении или умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{-3a}{-3} > \frac{0}{-3}$
$a > 0$
Так как $a$ больше нуля, число $a$ является положительным.
Ответ: положительным.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{1}{6}a < 0$. Чтобы найти знак $a$, умножим обе части неравенства на $6$. Так как $6$ — положительное число, знак неравенства не изменится.
$6 \cdot \frac{1}{6}a < 0 \cdot 6$
$a < 0$
Так как $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.
Ответ: отрицательным.

3) В неравенстве $-0,7a > 0$ для определения знака $a$ разделим обе части на $-0,7$. Поскольку мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$\frac{-0,7a}{-0,7} < \frac{0}{-0,7}$
$a < 0$
Так как $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.
Ответ: отрицательным.

5. Чему равно значение выражения: $1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + \dots + 97 - 99?$

Для нахождения значения данного выражения, сгруппируем слагаемые попарно. Заметим, что в выражении знаки чередуются, а числа представляют собой последовательные нечетные числа.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + \dots + (97 - 99)$

Вычислим значение каждой пары в скобках:

$1 - 3 = -2$

$5 - 7 = -2$

$9 - 11 = -2$

...и так далее, до последней пары:

$97 - 99 = -2$

Каждая такая пара дает в сумме $-2$. Теперь нам нужно определить, сколько всего таких пар.

Выражение содержит все нечетные числа от 1 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, можно использовать формулу для n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$, где первый член $a_1=1$, разность $d=2$ и последний член $a_n=99$.

$99 = 1 + 2(n-1)$

$98 = 2(n-1)$

$49 = n - 1$

$n = 50$

Итак, в выражении всего 50 чисел. Поскольку мы объединяем их в пары по два числа, количество пар будет:

$50 \div 2 = 25$ пар.

Так как у нас есть 25 пар, и каждая из них равна $-2$, то общая сумма будет произведением количества пар на значение каждой пары:

$25 \cdot (-2) = -50$

Ответ: $-50$

1175. Какому числу, положительному или отрицательному, равно произведение:

1) $-12 \cdot 17 \cdot (-34) \cdot 48;$

2) $24 \cdot \left(-\frac{1}{11}\right) \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{5}{7}\right);$

3) $14 \cdot (-90) \cdot (-18) \cdot (-71) \cdot (-52)?$

1) Для того чтобы определить знак произведения, необходимо посчитать количество отрицательных множителей. В выражении $ -12 \cdot 17 \cdot (-34) \cdot 48 $ содержится два отрицательных множителя: -12 и -34. Поскольку число отрицательных множителей (два) является чётным, произведение будет положительным числом.
Ответ: положительному.

2) В выражении $ 24 \cdot \left(-\frac{1}{11}\right) \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) $ содержится три отрицательных множителя: $ -\frac{1}{11} $, $ -\frac{4}{9} $ и $ -\frac{5}{7} $. Поскольку число отрицательных множителей (три) является нечётным, произведение будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательному.

3) В выражении $ 14 \cdot (-90) \cdot (-18) \cdot (-71) \cdot (-52) $ содержится четыре отрицательных множителя: -90, -18, -71 и -52. Поскольку число отрицательных множителей (четыре) является чётным, произведение будет положительным числом.
Ответ: положительному.

1176. Выполните умножение:

1) $-\frac{1}{9} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 7 \cdot 9;$

2) $8 \cdot (-6) \cdot 4 \cdot (-10) \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right);$

3) $0,2 \cdot (-0,25) \cdot (-0,5) \cdot 5 \cdot (-4) \cdot (-2).$

1) $-\frac{1}{9} \cdot (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 7 \cdot 9$

Для решения этого примера сначала определим знак произведения. В выражении четыре отрицательных множителя: $-\frac{1}{9}$, $-\frac{1}{7}$, $-\frac{1}{3}$ и $-5$. Так как количество отрицательных множителей четное (4), результат будет положительным.

Теперь перегруппируем множители для удобства вычислений, используя переместительное свойство умножения. Объединим дроби с соответствующими им целыми числами:

$-\frac{1}{9} \cdot (-\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 7 \cdot 9 = (\frac{1}{9} \cdot 9) \cdot (\frac{1}{7} \cdot 7) \cdot (\frac{1}{5} \cdot 5) \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3)$

Выполним умножение в каждой группе:

$\frac{1}{9} \cdot 9 = \frac{9}{9} = 1$

$\frac{1}{7} \cdot 7 = \frac{7}{7} = 1$

$\frac{1}{5} \cdot 5 = \frac{5}{5} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{3}{3} = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

2) $8 \cdot (-6) \cdot 4 \cdot (-10) \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{5}) \cdot (-\frac{1}{2})$

Определим знак произведения. В выражении пять отрицательных множителей: $-6$, $-10$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$, $-\frac{1}{2}$. Так как количество отрицательных множителей нечетное (5), результат будет отрицательным.

Сгруппируем множители так, чтобы было удобно сокращать, вынеся знак минус за скобки:

$-(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}) = -((8 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (6 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (10 \cdot \frac{1}{5}))$

Вычислим произведения в скобках:

$8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

$6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

$10 \cdot \frac{1}{5} = 2$

Перемножим полученные результаты, не забывая про знак минус перед всем выражением:

$-(4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2) = -(8 \cdot 2) = -16$

Ответ: -16

3) $0,2 \cdot (-0,25) \cdot (-0,5) \cdot 5 \cdot (-4) \cdot (-2)$

Сначала определим знак. В произведении четыре отрицательных множителя: $-0,25$, $-0,5$, $-4$, $-2$. Поскольку их количество четное (4), результат будет положительным.

Сгруппируем множители для удобства вычислений:

$(0,2 \cdot 5) \cdot ((-0,25) \cdot (-4)) \cdot ((-0,5) \cdot (-2))$

Выполним умножение в каждой паре:

$0,2 \cdot 5 = 1$

$(-0,25) \cdot (-4) = 1$

$(-0,5) \cdot (-2) = 1$

Найдем окончательное произведение:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

1177. Назовите коэффициент выражения:

1) $6a;$

2) $-7{,}2b;$

3) $-xy;$

4) $1{,}8mn;$

5) $\frac{3}{7}abc;$

6) $-2\frac{1}{3}p;$

7) $xyz;$

8) $4\frac{4}{11}mk.$

Коэффициент в алгебраическом выражении — это числовой множитель, стоящий перед буквенной частью. Чтобы найти коэффициент, нужно определить число, на которое умножаются переменные.

1) В выражении $6a$ числовой множитель равен 6.
Ответ: 6.

2) В выражении $-7,2b$ числовой множитель равен -7,2.
Ответ: -7,2.

3) Выражение $-xy$ можно записать как $-1 \cdot xy$. Числовой множитель в данном случае равен -1.
Ответ: -1.

4) В выражении $1,8mn$ числовой множитель равен 1,8.
Ответ: 1,8.

5) В выражении $\frac{3}{7}abc$ числовым множителем является дробь $\frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

6) В выражении $-2\frac{1}{3}p$ числовым множителем является смешанное число $-2\frac{1}{3}$.
Ответ: $-2\frac{1}{3}$.

7) Выражение $xyz$ можно записать как $1 \cdot xyz$. Числовой множитель в данном случае равен 1.
Ответ: 1.

8) В выражении $4\frac{4}{11}mk$ числовым множителем является смешанное число $4\frac{4}{11}$.
Ответ: $4\frac{4}{11}$.

1178. Упростите выражение и укажите его коэффициент:

1) $-3 \cdot 9a;$

2) $-7m \cdot (-5);$

3) $4a \cdot (-1,2);$

4) $-0,2b \cdot (-0,14);$

5) $-6a \cdot 8b;$

6) $-3,2p \cdot (-0,5k).$

1) $-3 \cdot 9a$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числовые множители. Буквенный множитель останется без изменений.

$-3 \cdot 9 = -27$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит как $-27a$.

Коэффициентом в этом выражении является числовой множитель $-27$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-27a$, коэффициент: $-27$.

2) $-7m \cdot (-5)$

Упростим выражение, перемножив числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-7 \cdot (-5) = 35$

Получаем упрощенное выражение $35m$.

Коэффициент этого выражения равен $35$.

Ответ: Упрощенное выражение: $35m$, коэффициент: $35$.

3) $4a \cdot (-1,2)$

Для упрощения выражения перемножим числовые коэффициенты.

$4 \cdot (-1,2) = -4,8$

Упрощенное выражение: $-4,8a$.

Коэффициент выражения равен $-4,8$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-4,8a$, коэффициент: $-4,8$.

4) $-0,2b \cdot (-0,14)$

Перемножим числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных десятичных дробей положительно.

$-0,2 \cdot (-0,14) = 0,028$

Упрощенное выражение: $0,028b$.

Коэффициент этого выражения равен $0,028$.

Ответ: Упрощенное выражение: $0,028b$, коэффициент: $0,028$.

5) $-6a \cdot 8b$

Чтобы упростить выражение, отдельно перемножим числовые коэффициенты и отдельно буквенные множители.

Произведение коэффициентов: $-6 \cdot 8 = -48$.

Произведение буквенных множителей: $a \cdot b = ab$.

Соединив результаты, получаем: $-48ab$.

Коэффициент выражения равен $-48$.

Ответ: Упрощенное выражение: $-48ab$, коэффициент: $-48$.

6) $-3,2p \cdot (-0,5k)$

Упростим выражение, перемножив числовые коэффициенты и буквенные множители.

Произведение коэффициентов: $-3,2 \cdot (-0,5) = 1,6$.

Произведение буквенных множителей: $p \cdot k = pk$.

Итоговое упрощенное выражение: $1,6pk$.

Коэффициент этого выражения равен $1,6$.

Ответ: Упрощенное выражение: $1,6pk$, коэффициент: $1,6$.

1179. Упростите выражение и подчеркните его коэффициент:

1) $-6 \cdot (-8c);$

2) $-10m \cdot 2;$

3) $-3m \cdot (-2,1);$

4) $3,6 \cdot (-5x);$

5) $10m \cdot (-1,7) \cdot n;$

6) $-7a \cdot 3b \cdot (-6c).$

1) Чтобы упростить выражение $-6 \cdot (-8c)$, необходимо перемножить числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$(-6) \cdot (-8) = 48$
Теперь дописываем буквенную часть $c$.
Получаем выражение $48c$. Коэффициентом является числовой множитель, стоящий перед буквенной частью. В данном случае это 48.
Ответ: 48c

2) Чтобы упростить выражение $-10m \cdot 2$, перемножим числовые коэффициенты $-10$ и $2$.
$(-10) \cdot 2 = -20$
Дописываем буквенную часть $m$.
Получаем выражение $-20m$. Коэффициент в этом выражении равен -20.
Ответ: -20m

3) Чтобы упростить выражение $-3m \cdot (-2,1)$, перемножим числовые коэффициенты $-3$ и $-2,1$. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$(-3) \cdot (-2,1) = 6,3$
Дописываем буквенную часть $m$.
Получаем выражение $6,3m$. Коэффициент в этом выражении равен 6,3.
Ответ: 6,3m

4) Чтобы упростить выражение $3,6 \cdot (-5x)$, перемножим числовые коэффициенты $3,6$ и $-5$.
$3,6 \cdot (-5) = -18$
Дописываем буквенную часть $x$.
Получаем выражение $-18x$. Коэффициент в этом выражении равен -18.
Ответ: -18x

5) Чтобы упростить выражение $10m \cdot (-1,7) \cdot n$, сначала перемножим числовые коэффициенты $10$ и $-1,7$.
$10 \cdot (-1,7) = -17$
Затем перемножаем буквенные части, располагая их в алфавитном порядке: $m \cdot n = mn$.
Получаем выражение $-17mn$. Коэффициент в этом выражении равен -17.
Ответ: -17mn

6) Чтобы упростить выражение $-7a \cdot 3b \cdot (-6c)$, сначала перемножим все числовые коэффициенты: $-7$, $3$ и $-6$.
$(-7) \cdot 3 \cdot (-6) = (-21) \cdot (-6) = 126$
Затем перемножаем буквенные части, располагая их в алфавитном порядке: $a \cdot b \cdot c = abc$.
Получаем выражение $126abc$. Коэффициент в этом выражении равен 126.
Ответ: 126abc

1180. Вычислите наиболее удобным способом:

1) $-4 \cdot 23 \cdot (-0.5)$;

2) $-0.4 \cdot (-250) \cdot 5 \cdot (-0.2)$;

3) $\frac{7}{13} \cdot (-6.5) \cdot 0.4 \cdot (-1\frac{6}{7})$;

4) $\frac{6}{23} \cdot (-2\frac{1}{3}) \cdot (-69) \cdot \frac{3}{7}$;

5) $-0.7 \cdot 2.5 \cdot 1\frac{3}{7} \cdot (-4)$;

6) $-\frac{5}{18} \cdot (-\frac{4}{13}) \cdot \frac{9}{25} \cdot (-26)$.

1) Чтобы вычислить $-4 \cdot 23 \cdot (-0,5)$ наиболее удобным способом, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители. Удобнее всего сначала умножить $-4$ на $-0,5$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$(-4) \cdot (-0,5) = 4 \cdot 0,5 = 2$.
Теперь умножим полученный результат на оставшийся множитель, 23.
$2 \cdot 23 = 46$.
Таким образом, $(-4 \cdot (-0,5)) \cdot 23 = 2 \cdot 23 = 46$.
Ответ: 46.

2) Необходимо вычислить $-0,4 \cdot (-250) \cdot 5 \cdot (-0,2)$. В произведении три отрицательных множителя, поэтому результат будет отрицательным.
Сгруппируем множители для удобства вычислений. Можно умножить $-0,4$ на $5$ и $-250$ на $-0,2$.
$(-0,4) \cdot 5 = -2$.
$(-250) \cdot (-0,2) = 250 \cdot 0,2 = 50$.
Теперь перемножим полученные результаты.
$(-2) \cdot 50 = -100$.
Другой удобный способ группировки: $(-0,4 \cdot (-250)) \cdot (5 \cdot (-0,2))$.
$-0,4 \cdot (-250) = 4 \cdot 25 = 100$.
$5 \cdot (-0,2) = -1$.
$100 \cdot (-1) = -100$.
Ответ: -100.

3) Выражение: $\frac{7}{13} \cdot (-6,5) \cdot 0,4 \cdot (-1\frac{6}{7})$. В произведении два отрицательных множителя, значит, результат будет положительным. Поэтому мы можем вычислить произведение их модулей.
Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби.
$6,5 = 6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$1\frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{13}{7}$.
Получаем выражение: $\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{13}{7}$.
Сгруппируем множители так, чтобы было удобно сокращать:
$(\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{7}) \cdot (\frac{13}{2} \cdot \frac{2}{5})$.
Вычислим произведение в каждой группе:
$\frac{7}{13} \cdot \frac{13}{7} = 1$.
$\frac{13}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{13}{5}$.
Итоговый результат: $1 \cdot \frac{13}{5} = \frac{13}{5} = 2,6$.
Ответ: 2,6.

4) Выражение: $\frac{6}{23} \cdot (-2\frac{1}{3}) \cdot (-69) \cdot \frac{3}{7}$. В произведении два отрицательных множителя, поэтому результат будет положительным.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь выражение для произведения модулей выглядит так: $\frac{6}{23} \cdot \frac{7}{3} \cdot 69 \cdot \frac{3}{7}$.
Сгруппируем множители для удобства:
$(\frac{6}{23} \cdot 69) \cdot (\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7})$.
Вычислим первую группу: $\frac{6}{23} \cdot 69 = \frac{6 \cdot 69}{23}$. Так как $69 = 3 \cdot 23$, то $\frac{6 \cdot 3 \cdot 23}{23} = 6 \cdot 3 = 18$.
Вычислим вторую группу: $\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = 1$.
Итоговый результат: $18 \cdot 1 = 18$.
Ответ: 18.

5) Выражение: $-0,7 \cdot 2,5 \cdot 1\frac{3}{7} \cdot (-4)$. В произведении два отрицательных множителя, поэтому результат будет положительным.
Сгруппируем $2,5$ и $-4$:
$2,5 \cdot (-4) = -10$.
Теперь выражение выглядит так: $-0,7 \cdot (-10) \cdot 1\frac{3}{7}$.
Умножим $-0,7$ на $-10$:
$-0,7 \cdot (-10) = 7$.
Осталось умножить $7$ на $1\frac{3}{7}$:
$7 \cdot 1\frac{3}{7} = 7 \cdot \frac{10}{7} = 10$.
Можно также использовать распределительное свойство: $7 \cdot (1 + \frac{3}{7}) = 7 \cdot 1 + 7 \cdot \frac{3}{7} = 7 + 3 = 10$.
Ответ: 10.

6) Выражение: $-\frac{5}{18} \cdot (-\frac{4}{13}) \cdot \frac{9}{25} \cdot (-26)$. В произведении три отрицательных множителя, значит, результат будет отрицательным.
Найдем произведение модулей, а затем поставим знак "минус".
$\frac{5}{18} \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{25} \cdot 26$.
Сгруппируем множители для удобства сокращения:
$(\frac{5}{18} \cdot \frac{9}{25}) \cdot (\frac{4}{13} \cdot 26)$.
Вычислим первую группу: $\frac{5 \cdot 9}{18 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 9}{(2 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$.
Вычислим вторую группу: $\frac{4 \cdot 26}{13} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 13}{13} = 4 \cdot 2 = 8$.
Перемножим результаты: $\frac{1}{10} \cdot 8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Так как исходное произведение отрицательно, результат равен $-\frac{4}{5}$ или $-0,8$.
Ответ: -0,8.