Страница 239 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как умножить два числа с разными знаками?

1. Как умножить два числа с разными знаками?

Чтобы умножить два числа с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное), нужно выполнить два действия:

1. Перемножить их модули (абсолютные значения, то есть сами числа без знаков).
2. Перед полученным результатом поставить знак «минус».

Иначе говоря, произведение положительного и отрицательного числа всегда будет отрицательным числом.

Это правило можно представить в виде формул. Пусть $a$ и $b$ — положительные числа:

$a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

$(-a) \cdot b = -(a \cdot b)$

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Найти произведение чисел $7$ и $-5$.

• Находим модули чисел: $|7| = 7$ и $|-5| = 5$.
• Умножаем модули: $7 \cdot 5 = 35$.
• Ставим перед результатом знак «минус». Получаем $-35$.

Таким образом, $7 \cdot (-5) = -35$.

Пример 2: Найти произведение чисел $-8$ и $4$.

• Находим модули чисел: $|-8| = 8$ и $|4| = 4$.
• Умножаем модули: $8 \cdot 4 = 32$.
• Ставим перед результатом знак «минус». Получаем $-32$.

Таким образом, $-8 \cdot 4 = -32$.

Ответ: Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».

2. Как умножить два отрицательных числа?

Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули (то есть те же числа, но взятые без знака минус). Результат такого умножения всегда будет положительным числом. Это правило часто формулируют как "минус на минус дает плюс".

В общем виде это можно записать с помощью формулы. Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, тогда:
$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$

Рассмотрим пошаговый пример:

Задача: Найти произведение чисел $-8$ и $-5$.

1. Находим модули множителей: $|-8| = 8$ и $|-5| = 5$.

2. Умножаем полученные модули: $8 \cdot 5 = 40$.

3. Так как мы умножали два отрицательных числа, результат будет положительным.

Следовательно, $(-8) \cdot (-5) = 40$.

Еще один пример:
$(-1.5) \cdot (-4) = 1.5 \cdot 4 = 6$.

Ответ: Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули, и результат будет положительным.

3. Какие знаки должны иметь два числа, чтобы их произведение было положительным числом? отрицательным числом?

положительным числом

Чтобы произведение двух чисел было положительным числом, необходимо, чтобы оба множителя имели одинаковые знаки. Это означает, что оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными.

Рассмотрим два случая:

1. Оба числа положительные. Если мы умножаем одно положительное число на другое, результат всегда будет положительным.
Формула: если $a > 0$ и $b > 0$, то $a \cdot b > 0$.
Пример: $5 \cdot 4 = 20$.

2. Оба числа отрицательные. При умножении одного отрицательного числа на другое, результат также будет положительным (правило "минус на минус дает плюс").
Формула: если $a < 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b > 0$.
Пример: $(-5) \cdot (-4) = 20$.

Ответ: Чтобы произведение было положительным, два числа должны иметь одинаковые знаки: оба должны быть положительными или оба отрицательными.

отрицательным числом

Чтобы произведение двух чисел было отрицательным числом, необходимо, чтобы множители имели разные (противоположные) знаки. Это означает, что одно число должно быть положительным, а другое — отрицательным.

Рассмотрим два случая:

1. Первое число положительное, а второе отрицательное. При умножении положительного числа на отрицательное, результат всегда будет отрицательным.
Формула: если $a > 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b < 0$.
Пример: $5 \cdot (-4) = -20$.

2. Первое число отрицательное, а второе положительное. При умножении отрицательного числа на положительное, результат также будет отрицательным.
Формула: если $a < 0$ и $b > 0$, то $a \cdot b < 0$.
Пример: $(-5) \cdot 4 = -20$.

Ответ: Чтобы произведение было отрицательным, два числа должны иметь разные знаки: одно должно быть положительным, а другое — отрицательным.

4. В каком случае произведение равно нулю?

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю. Это является фундаментальным свойством операции умножения.

Рассмотрим это правило формально. Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Их произведение будет равно нулю, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Первый множитель равен нулю ($a = 0$).
2. Второй множитель равен нулю ($b = 0$).
3. Оба множителя равны нулю ($a = 0$ и $b = 0$).

Математически это свойство записывается так:
$a \cdot b = 0 \iff a = 0 \text{ или } b = 0$

Это правило распространяется на любое количество множителей. Например, если у нас есть произведение $n$ множителей $a_1, a_2, \dots, a_n$, то оно равно нулю, если хотя бы один из этих множителей равен нулю.
$a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 0 \iff \text{существует } a_i \text{ такое, что } a_i=0$

Примеры:
$17 \cdot 0 = 0$ (второй множитель равен нулю)
$0 \cdot (-125) = 0$ (первый множитель равен нулю)
$5 \cdot 8 \cdot 0 \cdot (-3) = 0$ (один из множителей равен нулю)

И наоборот: если ни один из множителей не равен нулю, то их произведение также никогда не будет равно нулю. Например, $2 \cdot 3 = 6$, а не $0$.

Ответ: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 0,4 дм, 2,9 дм и 2,5 дм?

1.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) равен произведению трёх его измерений: длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Формула для вычисления объёма выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

В данном случае измерения параллелепипеда равны:

$a = 0,4$ дм

$b = 2,9$ дм

$c = 2,5$ дм

Подставим эти значения в формулу и вычислим объём:

$V = 0,4 \cdot 2,9 \cdot 2,5$

Для удобства счёта можно перемножить сначала $0,4$ и $2,5$:

$0,4 \cdot 2,5 = 1,0$

Теперь умножим полученный результат на оставшееся измерение:

$V = 1 \cdot 2,9 = 2,9$

Таким образом, объём прямоугольного параллелепипеда равен 2,9 кубических дециметра.

Ответ: 2,9 дм³

2. Масса семи одинаковых гаек и четырёх одинаковых болтов равна 1150 г, а масса таких же трёх гаек и четырёх болтов – 950 г. Найдите массу одной гайки.

Для решения задачи введём переменные. Пусть $g$ — масса одной гайки в граммах, а $b$ — масса одного болта в граммах.

Из условия задачи мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Масса семи гаек и четырёх болтов равна 1150 г:
$7g + 4b = 1150$

2. Масса трёх гаек и четырёх болтов равна 950 г:
$3g + 4b = 950$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} 7g + 4b = 1150 \\ 3g + 4b = 950 \end{cases} $

Чтобы найти массу одной гайки ($g$), можно вычесть второе уравнение из первого. Это удобно, так как количество болтов в обоих случаях одинаково, и переменная $b$ сократится.

$(7g + 4b) - (3g + 4b) = 1150 - 950$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$7g + 4b - 3g - 4b = 200$

$4g = 200$

Теперь найдём $g$, разделив обе части уравнения на 4:

$g = \frac{200}{4}$

$g = 50$

Следовательно, масса одной гайки равна 50 граммам.

Ответ: 50 г.

3. За 200 г конфет заплатили 68 р. Сколько стоит 1 кг таких конфет?

Для того чтобы определить стоимость одного килограмма конфет, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Узнаем, сколько порций по 200 грамм в одном килограмме.

Сначала переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 грамм.

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Теперь разделим общий вес (1000 г) на вес одной порции (200 г), чтобы узнать количество порций:

$1000 \text{ г} \div 200 \text{ г} = 5$

Таким образом, в 1 кг содержится 5 порций по 200 г.

2. Рассчитаем стоимость одного килограмма конфет.

Известно, что одна порция весом 200 г стоит 68 рублей. Поскольку в одном килограмме 5 таких порций, мы умножаем стоимость одной порции на их количество:

$68 \text{ р.} \times 5 = 340 \text{ р.}$

Следовательно, стоимость 1 кг таких конфет составляет 340 рублей.

Ответ: 1 кг таких конфет стоит 340 р.

1141. Какому числу, положительному или отрицательному, равно произведение:

1) $-216 \cdot 48,7;$

2) $19,21 \cdot (-50,72);$

3) $-12,35 \cdot (-0,784)?$

Для определения знака произведения чисел необходимо руководствоваться следующими правилами:

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) является положительным числом.
• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное и одно отрицательное) является отрицательным числом.

Применим эти правила к каждому случаю.

1) В выражении $-216 \cdot 48,7$ один множитель является отрицательным числом ($-216$), а другой — положительным ($48,7$). Так как знаки у множителей разные, их произведение будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательному.

2) В выражении $19,21 \cdot (-50,72)$ один множитель — положительное число ($19,21$), а второй — отрицательное ($-50,72$). Произведение чисел с разными знаками является отрицательным.
Ответ: отрицательному.

3) В выражении $-12,35 \cdot (-0,784)$ оба множителя являются отрицательными числами ($-12,35$ и $-0,784$). Поскольку знаки у множителей одинаковые, их произведение будет положительным числом.
Ответ: положительному.

1142. Найдите произведение:

1) $-4 \cdot 8;$

2) $0 \cdot (-23);$

3) $-6 \cdot (-9);$

4) $-169 \cdot 0;$

5) $-13 \cdot (-2);$

6) $22 \cdot (-3).$

1)

Чтобы найти произведение чисел с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным числом поставить знак «–».

Модуль числа $-4$ равен $4$. Модуль числа $8$ равен $8$.

$|-4| \cdot |8| = 4 \cdot 8 = 32$

Так как множители имеют разные знаки (один отрицательный, другой положительный), произведение будет отрицательным.

$-4 \cdot 8 = -32$

Ответ: $-32$

2)

Произведение любого числа на ноль равно нулю. Это свойство умножения на ноль.

$0 \cdot (-23) = 0$

Ответ: $0$

3)

Чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, нужно перемножить их модули. Результат будет положительным.

Модуль числа $-6$ равен $6$. Модуль числа $-9$ равен $9$.

$|-6| \cdot |-9| = 6 \cdot 9 = 54$

Так как оба множителя отрицательные, произведение будет положительным.

$-6 \cdot (-9) = 54$

Ответ: $54$

4)

Произведение любого числа на ноль равно нулю. Это свойство умножения на ноль.

$-169 \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

5)

Чтобы найти произведение двух отрицательных чисел, нужно перемножить их модули. Результат будет положительным.

Модуль числа $-13$ равен $13$. Модуль числа $-2$ равен $2$.

$|-13| \cdot |-2| = 13 \cdot 2 = 26$

Так как оба множителя отрицательные, произведение будет положительным.

$-13 \cdot (-2) = 26$

Ответ: $26$

6)

Чтобы найти произведение чисел с разными знаками, нужно перемножить их модули и перед полученным числом поставить знак «–».

Модуль числа $22$ равен $22$. Модуль числа $-3$ равен $3$.

$|22| \cdot |-3| = 22 \cdot 3 = 66$

Так как множители имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный), произведение будет отрицательным.

$22 \cdot (-3) = -66$

Ответ: $-66$

1143. Выполните умножение:

1) $-12 \cdot 5$;

2) $-0,4 \cdot 1,5$;

3) $3,4 \cdot (-1,8)$;

4) $-\frac{3}{4} \cdot (-\frac{5}{6})$;

5) $-\frac{15}{16} \cdot (-\frac{48}{55})$;

6) $-\frac{13}{24} \cdot \frac{16}{39}$;

7) $\frac{6}{35} \cdot (-\frac{14}{15})$;

8) $-\frac{7}{12} \cdot 24$;

9) $45 \cdot (-\frac{8}{15})$;

10) $\frac{16}{17} \cdot (-6\frac{3}{8})$;

11) $-3\frac{5}{9} \cdot (-5\frac{1}{4})$;

12) $-1\frac{5}{7} \cdot 6\frac{1}{8}$.

1) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
$-12 \cdot 5 = -60$
Ответ: -60.

2) При умножении отрицательного десятичного числа на положительное десятичное число результат будет отрицательным.
$-0,4 \cdot 1,5 = -0,6$
Ответ: -0,6.

3) При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$3,4 \cdot (-1,8) = -6,12$
Ответ: -6,12.

4) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.
$-\frac{3}{4} \cdot (-\frac{5}{6}) = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{15}{24}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3.
$\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$.

5) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Сократим дроби перед умножением для упрощения вычислений.
$-\frac{15}{16} \cdot (-\frac{48}{55}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{48}{55} = \frac{15 \cdot 48}{16 \cdot 55}$
Сокращаем 15 и 55 на 5; 48 и 16 на 16.
$\frac{(15 \div 5) \cdot (48 \div 16)}{(16 \div 16) \cdot (55 \div 5)} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 11} = \frac{9}{11}$
Ответ: $\frac{9}{11}$.

6) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Сократим дроби перед умножением.
$-\frac{13}{24} \cdot \frac{16}{39} = -\frac{13 \cdot 16}{24 \cdot 39}$
Сокращаем 13 и 39 на 13; 16 и 24 на 8.
$-\frac{(13 \div 13) \cdot (16 \div 8)}{(24 \div 8) \cdot (39 \div 13)} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = -\frac{2}{9}$
Ответ: $-\frac{2}{9}$.

7) При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Сократим дроби перед умножением.
$\frac{6}{35} \cdot (-\frac{14}{15}) = -\frac{6 \cdot 14}{35 \cdot 15}$
Сокращаем 6 и 15 на 3; 14 и 35 на 7.
$-\frac{(6 \div 3) \cdot (14 \div 7)}{(35 \div 7) \cdot (15 \div 3)} = -\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = -\frac{4}{25}$
Ответ: $-\frac{4}{25}$.

8) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Представим целое число 24 как дробь $\frac{24}{1}$.
$-\frac{7}{12} \cdot 24 = -\frac{7}{12} \cdot \frac{24}{1} = -\frac{7 \cdot 24}{12} = -7 \cdot \frac{24}{12} = -7 \cdot 2 = -14$
Ответ: -14.

9) При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$45 \cdot (-\frac{8}{15}) = -\frac{45 \cdot 8}{15} = -\frac{45}{15} \cdot 8 = -3 \cdot 8 = -24$
Ответ: -24.

10) При умножении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Сначала представим смешанное число $-6\frac{3}{8}$ в виде неправильной дроби.
$-6\frac{3}{8} = -(\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}) = -\frac{51}{8}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{16}{17} \cdot (-\frac{51}{8}) = -\frac{16 \cdot 51}{17 \cdot 8} = -\frac{16}{8} \cdot \frac{51}{17} = -2 \cdot 3 = -6$
Ответ: -6.

11) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$-3\frac{5}{9} = -\frac{3 \cdot 9 + 5}{9} = -\frac{32}{9}$
$-5\frac{1}{4} = -\frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{21}{4}$
Теперь выполним умножение:
$(-\frac{32}{9}) \cdot (-\frac{21}{4}) = \frac{32 \cdot 21}{9 \cdot 4} = \frac{32}{4} \cdot \frac{21}{9} = 8 \cdot \frac{21}{9}$
Сократим дробь $\frac{21}{9}$ на 3: $\frac{7}{3}$.
$8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}$.
Ответ: $18\frac{2}{3}$.

12) При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$-1\frac{5}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = -\frac{12}{7}$
$6\frac{1}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{49}{8}$
Теперь выполним умножение:
$-\frac{12}{7} \cdot \frac{49}{8} = -\frac{12 \cdot 49}{7 \cdot 8}$
Сокращаем 12 и 8 на 4; 49 и 7 на 7.
$-\frac{(12 \div 4) \cdot (49 \div 7)}{(7 \div 7) \cdot (8 \div 4)} = -\frac{3 \cdot 7}{1 \cdot 2} = -\frac{21}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2}$.
Ответ: $-10\frac{1}{2}$.