Страница 245 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте переместительное свойство умножения рациональных чисел.

Переместительное (или коммутативное) свойство умножения для рациональных чисел гласит, что произведение двух рациональных чисел не зависит от порядка, в котором их перемножают.

Сформулировать это свойство можно двумя способами:

1. Словесно: от перестановки множителей произведение не меняется.
2. В виде формулы: для любых рациональных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $a \cdot b = b \cdot a$.

Например, проверим это свойство на числах $-\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{5}$.

Сначала умножим $-\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{5}$:

$(-\frac{3}{4}) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5} = -\frac{3}{20}$

Теперь поменяем множители местами и умножим $\frac{1}{5}$ на $-\frac{3}{4}$:

$\frac{1}{5} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 4} = -\frac{3}{20}$

Результаты совпадают, что подтверждает переместительное свойство умножения.

Ответ: Для любых рациональных чисел $a$ и $b$ верно равенство $a \cdot b = b \cdot a$, что означает, что от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сформулируйте сочетательное свойство умножения рациональных чисел.

Сочетательное свойство умножения (или ассоциативный закон) для рациональных чисел утверждает, что результат умножения трёх и более чисел не зависит от способа расстановки скобок, то есть от порядка, в котором выполняются операции умножения.

Словесная формулировка: чтобы произведение двух рациональных чисел умножить на третье рациональное число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В виде формулы это свойство записывается так: для любых рациональных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Пример:

Сочетательное свойство позволяет упрощать вычисления, перегруппировывая множители. Рассмотрим выражение: $(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}) \cdot \frac{9}{5}$.

Если вычислять по порядку, то сначала нужно найти произведение в скобках:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}) = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

Затем умножить результат на третий множитель:

$\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{5} = \frac{5 \cdot 9}{12 \cdot 5} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

Теперь применим сочетательное свойство и сгруппируем множители по-другому:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}) \cdot \frac{9}{5} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5})$

Сначала вычислим произведение в новых скобках. Дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{9}{5}$ являются взаимно обратными, их произведение равно 1:

$(\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5}) = 1$

Теперь вычисление становится очень простым:

$\frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$

Результат тот же, но второй способ вычислений значительно проще.

Ответ: Сочетательное свойство умножения рациональных чисел: для любых рациональных чисел $a$, $b$ и $c$ верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, что означает, что результат умножения не зависит от способа группировки сомножителей.