Страница 254 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1228. Найдите значение выражения:

1) $-4(n - k)$, если $k - n = -7$;

2) $4m - (m + 3n)$, если $m - n = -0.8$;

3) $-3a - (8b - 15a)$, если $3a - 2b = -0.25$;

4) $6(2x - 3y) - 2(x + y)$, если $2y - x = 17.8$;

5) $7a(3b + 4c) - 3a\left(b + \frac{1}{3}c\right)$, если $a = -3\frac{1}{3}$, $3c + 2b = -1.6$.

1) Сначала преобразуем выражение в скобках. Нам дано, что $k - n = -7$. Выражение $n - k$ является противоположным к $k - n$, поэтому $n - k = -(k - n) = -(-7) = 7$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$-4(n - k) = -4 \cdot 7 = -28$.
Ответ: -28.

2) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки:
$4m - (m + 3n) = 4m - m - 3n = 3m - 3n$.
Теперь вынесем общий множитель за скобки:
$3m - 3n = 3(m - n)$.
Нам известно, что $m - n = -0,8$. Подставим это значение в упрощенное выражение:
$3(m - n) = 3 \cdot (-0,8) = -2,4$.
Ответ: -2,4.

3) Упростим исходное выражение, раскрыв скобки:
$-3a - (8b - 15a) = -3a - 8b + 15a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-3a + 15a) - 8b = 12a - 8b$.
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$12a - 8b = 4(3a - 2b)$.
По условию, $3a - 2b = -0,25$. Подставим это значение:
$4(3a - 2b) = 4 \cdot (-0,25) = -1$.
Ответ: -1.

4) Раскроем скобки в выражении:
$6(2x - 3y) - 2(x + y) = 12x - 18y - 2x - 2y$.
Приведем подобные слагаемые:
$(12x - 2x) + (-18y - 2y) = 10x - 20y$.
Вынесем общий множитель 10 за скобки:
$10x - 20y = 10(x - 2y)$.
По условию $2y - x = 17,8$. Выражение $x - 2y$ является противоположным, то есть $x - 2y = -(2y - x) = -17,8$.
Подставим это значение в упрощенное выражение:
$10(x - 2y) = 10 \cdot (-17,8) = -178$.
Ответ: -178.

5) Упростим выражение, раскрыв скобки:
$7a(3b + 4c) - 3a(b + \frac{1}{3}c) = (21ab + 28ac) - (3ab + ac) = 21ab + 28ac - 3ab - ac$.
Приведем подобные слагаемые:
$(21ab - 3ab) + (28ac - ac) = 18ab + 27ac$.
Вынесем общий множитель $9a$ за скобки:
$18ab + 27ac = 9a(2b + 3c)$.
По условию $a = -3\frac{1}{3}$ и $3c + 2b = -1,6$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $a = -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$.
Заметим, что $2b + 3c = 3c + 2b = -1,6$.
Теперь подставим известные значения в упрощенное выражение:
$9a(2b + 3c) = 9 \cdot (-\frac{10}{3}) \cdot (-1,6)$.
Вычислим произведение:
$9 \cdot (-\frac{10}{3}) = -3 \cdot 10 = -30$.
$-30 \cdot (-1,6) = 30 \cdot 1,6 = 48$.
Ответ: 48.

1229. Чему равно значение выражения:

1) $5a - (3a - 10b)$, если $a + 5b = 1,7$;

2) $-0,9x - (0,6x + 0,5y)$, если $3x + y = -0,2$;

3) $2m(n - 4p) + 5mp$, если $m = 4, 3p - 2n = -0,4?$

1) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$5a - (3a - 10b) = 5a - 3a + 10b = 2a + 10b$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a + 10b = 2(a + 5b)$

Теперь подставим известное значение $a + 5b = 1.7$ в полученное выражение:

$2 \cdot (a + 5b) = 2 \cdot 1.7 = 3.4$

Ответ: 3,4

2) Упростим выражение, раскрыв скобки:

$-0,9x - (0,6x + 0,5y) = -0,9x - 0,6x - 0,5y = -1,5x - 0,5y$

Вынесем общий множитель $-0,5$ за скобки, чтобы получить выражение, данное в условии:

$-1,5x - 0,5y = -0.5(3x + y)$

Подставим известное значение $3x + y = -0.2$:

$-0.5 \cdot (3x + y) = -0.5 \cdot (-0.2) = 0.1$

Ответ: 0,1

3) Упростим исходное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2m(n - 4p) + 5mp = 2mn - 8mp + 5mp = 2mn - 3mp$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $m = 4$:

$2 \cdot 4 \cdot n - 3 \cdot 4 \cdot p = 8n - 12p$

У нас есть условие $3p - 2n = -0.4$. Преобразуем наше выражение так, чтобы можно было использовать это условие. Для этого вынесем $-4$ за скобки:

$8n - 12p = -4(-2n + 3p) = -4(3p - 2n)$

Подставим известное значение $3p - 2n = -0.4$:

$-4 \cdot (3p - 2n) = -4 \cdot (-0.4) = 1.6$

Ответ: 1,6

1230. Замените данное выражение равным ему числовым выражением, не содержащим знака модуля:

1) $ |\pi - 3,14|; $

2) $ |3 - \pi|; $

3) $ |3,142 - \pi|; $

4) $ |\pi - 3,15|. $

Чтобы заменить выражение с модулем на равное ему выражение без модуля, нужно определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. Для этого будем использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159...$.

1) $|\pi - 3,14|$
Сравним числа $\pi$ и $3,14$.
Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $\pi > 3,14$.
Следовательно, выражение под знаком модуля $\pi - 3,14$ положительно.
По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Таким образом, $|\pi - 3,14| = \pi - 3,14$.
Ответ: $\pi - 3,14$.

2) $|3 - \pi|$
Сравним числа $3$ и $\pi$.
Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $3 < \pi$.
Следовательно, выражение под знаком модуля $3 - \pi$ отрицательно.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Таким образом, $|3 - \pi| = -(3 - \pi) = \pi - 3$.
Ответ: $\pi - 3$.

3) $|3,142 - \pi|$
Сравним числа $3,142$ и $\pi$.
Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $3,142 > 3,14159...$, а значит $3,142 > \pi$.
Следовательно, выражение под знаком модуля $3,142 - \pi$ положительно.
По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Таким образом, $|3,142 - \pi| = 3,142 - \pi$.
Ответ: $3,142 - \pi$.

4) $|\pi - 3,15|$
Сравним числа $\pi$ и $3,15$.
Поскольку $\pi \approx 3,14159...$, то $3,14159... < 3,15$, а значит $\pi < 3,15$.
Следовательно, выражение под знаком модуля $\pi - 3,15$ отрицательно.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Таким образом, $|\pi - 3,15| = -(\pi - 3,15) = 3,15 - \pi$.
Ответ: $3,15 - \pi$.

1231.Знак какого арифметического действия надо поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное равенство:

1) $\frac{6}{7} * \frac{1}{6} = 1$

2) $\frac{2}{9} * \frac{5}{9} = \frac{2}{5}$

3) $3 * 2\frac{2}{11} = \frac{9}{11}$

4) $1,2 * \frac{5}{6} = 1$

Чтобы найти нужный знак арифметического действия, необходимо подставить каждый из знаков (+, −, ⋅, ÷) вместо звездочки и проверить, будет ли равенство верным.

Дано равенство: $ \frac{6}{7} * 1\frac{1}{6} = 1 $.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6} $.
Теперь равенство выглядит так: $ \frac{6}{7} * \frac{7}{6} = 1 $.
Мы видим, что дроби $ \frac{6}{7} $ и $ \frac{7}{6} $ являются взаимно обратными. Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.
Проверим действие умножения: $ \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 6} = \frac{42}{42} = 1 $.
Равенство выполняется.

Ответ: знак умножения (⋅).

Дано равенство: $ \frac{2}{9} * \frac{5}{9} = \frac{2}{5} $.
Проверим все арифметические действия по очереди.
Сложение: $ \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9} \neq \frac{2}{5} $.
Вычитание: $ \frac{2}{9} - \frac{5}{9} = \frac{2-5}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3} \neq \frac{2}{5} $.
Умножение: $ \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 9} = \frac{10}{81} \neq \frac{2}{5} $.
Деление: $ \frac{2}{9} \div \frac{5}{9} = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{2}{5} $.
Равенство выполняется при делении.

Ответ: знак деления (÷).

Дано равенство: $ 3 * 2\frac{2}{11} = \frac{9}{11} $.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11} $.
Равенство принимает вид: $ 3 * \frac{24}{11} = \frac{9}{11} $.
Представим целое число 3 в виде дроби со знаменателем 11: $ 3 = \frac{33}{11} $.
Теперь равенство выглядит так: $ \frac{33}{11} * \frac{24}{11} = \frac{9}{11} $.
Проверим арифметические действия.
Сложение: $ \frac{33}{11} + \frac{24}{11} = \frac{33+24}{11} = \frac{57}{11} \neq \frac{9}{11} $.
Вычитание: $ \frac{33}{11} - \frac{24}{11} = \frac{33-24}{11} = \frac{9}{11} $.
Равенство выполняется при вычитании.

Ответ: знак вычитания (−).

Дано равенство: $ 1,2 * \frac{5}{6} = 1 $.
Преобразуем десятичную дробь 1,2 в обыкновенную: $ 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $.
Равенство принимает вид: $ \frac{6}{5} * \frac{5}{6} = 1 $.
Как и в первом примере, числа $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{5}{6} $ являются взаимно обратными, и их произведение равно 1.
Проверим действие умножения: $ \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} = \frac{30}{30} = 1 $.
Равенство выполняется.

Ответ: знак умножения (⋅).

1232. Представьте в виде разности двух дробей с числителем 1 дробь:

1) $\frac{1}{12}$;

2) $\frac{2}{63}$;

3) $\frac{1}{4}$;

4) $\frac{3}{28}$;

5) $\frac{1}{24}$.

1) Требуется представить дробь $\frac{1}{12}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Формула разности таких дробей: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{a \cdot b}$.
Следовательно, нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, для которых $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{12}$.
Рассмотрим простейший случай, когда $b-a = 1$ и $a \cdot b = 12$. Необходимо найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 12. Такими числами являются 3 и 4.
Пусть $a=3$ и $b=4$.
Проверка: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.

2) Требуется представить дробь $\frac{2}{63}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Используя формулу $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{a \cdot b}$, получаем равенство $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{2}{63}$.
Рассмотрим случай, когда $b-a = 2$ и $a \cdot b = 63$. Необходимо найти два числа, разность которых равна 2, а произведение — 63. Разложим 63 на множители: $63 = 1 \cdot 63 = 3 \cdot 21 = 7 \cdot 9$. Пара чисел 7 и 9 удовлетворяет условию, так как $9-7=2$.
Пусть $a=7$ и $b=9$.
Проверка: $\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{9-7}{7 \cdot 9} = \frac{2}{63}$.
Ответ: $\frac{2}{63} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$.

3) Требуется представить дробь $\frac{1}{4}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{4}$ следует уравнение $a \cdot b = 4(b-a)$.
Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $a$ через $b$:
$ab = 4b - 4a$
$ab + 4a = 4b$
$a(b+4) = 4b$
$a = \frac{4b}{b+4}$
Будем подбирать целые положительные значения $b$ так, чтобы $a$ также было целым и положительным.
Если $b=4$, то $a = \frac{4 \cdot 4}{4+4} = \frac{16}{8} = 2$.
Мы нашли пару чисел: $a=2$ и $b=4$.
Проверка: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.

4) Требуется представить дробь $\frac{3}{28}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{3}{28}$ рассмотрим случай, когда $b-a = 3$ и $a \cdot b = 28$.
Нам нужно найти два числа, разность которых равна 3, а произведение — 28. Разложим 28 на множители: $28 = 1 \cdot 28 = 2 \cdot 14 = 4 \cdot 7$. Пара чисел 4 и 7 удовлетворяет условию, так как $7-4=3$.
Пусть $a=4$ и $b=7$.
Проверка: $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7-4}{4 \cdot 7} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$.

5) Требуется представить дробь $\frac{1}{24}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{24}$ следует уравнение $a \cdot b = 24(b-a)$.
Выразим $a$ через $b$:
$ab = 24b - 24a$
$ab + 24a = 24b$
$a(b+24) = 24b$
$a = \frac{24b}{b+24}$
Для поиска целочисленного решения можно переписать выражение: $a = \frac{24(b+24-24)}{b+24} = 24 - \frac{576}{b+24}$.
Чтобы $a$ было целым, $b+24$ должно быть делителем числа 576. Подберем подходящий делитель. Пусть $b+24 = 32$, тогда $b=8$.
Найдем $a$: $a = 24 - \frac{576}{32} = 24 - 18 = 6$.
Мы нашли пару чисел: $a=6$ и $b=8$.
Проверка: $\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{8-6}{6 \cdot 8} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$.

1233. Когда Дима прочитал $\frac{1}{3}$ книги, то ему осталось прочитать ещё 40 страниц, чтобы прочитанной оказалась половина книги. Сколько страниц в этой книге?

Для решения задачи сначала определим, какую часть книги составляют 40 страниц. По условию, Дима прочитал $\frac{1}{3}$ книги. Чтобы прочитанной оказалась половина ($\frac{1}{2}$) книги, ему нужно прочитать ещё 40 страниц. Следовательно, эти 40 страниц представляют собой разницу между половиной книги и одной третью книги.

Найдем эту разницу в долях от всей книги. Для этого вычтем из $\frac{1}{2}$ дробь $\frac{1}{3}$, предварительно приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Таким образом, 40 страниц составляют $\frac{1}{6}$ часть всей книги.

Теперь, зная, что $\frac{1}{6}$ книги — это 40 страниц, мы можем найти общее количество страниц в книге. Для этого нужно 40 умножить на 6:

$40 \cdot 6 = 240$ (страниц).

Ответ: 240 страниц.

1234.Когда Дима прочитал $\frac{1}{3}$ книги, то ему осталось прочитать на 40 страниц больше, чем уже было прочитано. Сколько страниц в этой книге?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество страниц в книге.

1. Согласно условию, Дима прочитал $\frac{1}{3}$ книги. В страницах это составит $\frac{1}{3}x$.

2. После того как Дима прочитал часть книги, ему осталось прочитать оставшуюся часть. Вся книга — это 1 (целое). Значит, оставшаяся часть составляет:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ книги.
В страницах это будет $\frac{2}{3}x$.

3. В задаче сказано, что количество оставшихся страниц на 40 больше, чем количество уже прочитанных. Составим уравнение на основе этого условия:
(Оставшиеся страницы) = (Прочитанные страницы) + 40
$\frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x + 40$

4. Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:
$\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x = 40$
$\frac{1}{3}x = 40$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$x = 40 \cdot 3$
$x = 120$

Таким образом, мы нашли, что в книге всего 120 страниц.

Проверка:
Количество прочитанных страниц: $\frac{1}{3} \cdot 120 = 40$ страниц.
Количество оставшихся страниц: $120 - 40 = 80$ страниц.
Найдем разницу: $80 - 40 = 40$ страниц.
Разница совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 120 страниц.

1235. До снижения цен стул стоил 1600 р. Какой стала цена стула после двух последовательных снижений, первое из которых было на 5 %, а второе – на 10 %?

Для того чтобы найти итоговую цену стула, необходимо выполнить два последовательных вычисления.

1. Сначала рассчитаем цену стула после первого снижения на 5%. Первоначальная цена составляла 1600 рублей. Снижение на 5% означает, что новая цена будет равна $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной.
Вычислим новую стоимость:
$1600 \cdot (1 - \frac{5}{100}) = 1600 \cdot 0.95 = 1520$ р.
Таким образом, после первого снижения цена стула стала 1520 рублей.

2. Теперь рассчитаем цену после второго снижения на 10%. Это снижение применяется уже к новой цене, то есть к 1520 рублям. Итоговая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от этой суммы.
Вычислим конечную стоимость:
$1520 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 1520 \cdot 0.9 = 1368$ р.

Ответ: 1368 р.

1236. По одной дороге в противоположных направлениях двигаются всадник со скоростью 14 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Каким будет расстояние между ними через 15 мин, если сейчас между ними 3 км? Сколько решений имеет задача?

Эта задача имеет два возможных решения, поскольку в условии не указано, сближаются или удаляются всадник и пешеход в начальный момент времени. Рассмотрим оба варианта.

1. Общие вычисления

Сначала переведем все величины в единую систему измерений и найдем относительную скорость.

• Скорость всадника: $v_1 = 14$ км/ч.
• Скорость пешехода: $v_2 = 4$ км/ч.
• Начальное расстояние: $S_0 = 3$ км.
• Время движения: $t = 15$ мин.

Переведем время из минут в часы:
$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.

Поскольку всадник и пешеход движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость (скорость сближения или удаления) равна сумме их скоростей:
$v_{отн} = v_1 + v_2 = 14 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

За 15 минут общее расстояние, на которое они сблизятся или удалятся друг от друга, составит:
$\Delta S = v_{отн} \times t = 18 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 4.5 \text{ км}$.

2. Решение задачи для двух возможных случаев

Случай 1: Всадник и пешеход удаляются друг от друга

Если они изначально движутся в разные стороны, то к начальному расстоянию (3 км) прибавится расстояние, которое они преодолеют за 15 минут (4,5 км).
$S_1 = S_0 + \Delta S = 3 \text{ км} + 4.5 \text{ км} = 7.5 \text{ км}$.

Ответ: 7,5 км.

Случай 2: Всадник и пешеход движутся навстречу друг другу

Если они движутся навстречу друг другу, они сначала будут сближаться. Поскольку расстояние, которое они пройдут навстречу (4,5 км), больше, чем начальное расстояние между ними (3 км), они встретятся и продолжат движение, удаляясь друг от друга.
Итоговое расстояние между ними будет равно разнице между общим пройденным расстоянием и начальным расстоянием:
$S_2 = \Delta S - S_0 = 4.5 \text{ км} - 3 \text{ км} = 1.5 \text{ км}$.

Ответ: 1,5 км.

Сколько решений имеет задача?

Так как существуют два описанных выше сценария, каждый из которых приводит к своему правильному результату, задача имеет два решения.

Ответ: 2.