Страница 261 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое уравнение получится, если к обеим частям данного уравнения прибавить одно и то же число?

Пусть дано некоторое уравнение, которое в общем виде можно записать как $A = B$, где $A$ — это левая часть уравнения, а $B$ — правая. Если к обеим частям этого уравнения прибавить одно и то же число, которое мы обозначим как $c$, то получится новое уравнение:

$A + c = B + c$

Основное свойство этого преобразования заключается в том, что полученное уравнение является равносильным (или эквивалентным) исходному. Это означает, что множество решений (корней) у исходного и нового уравнений полностью совпадают. Любой корень, который является решением для уравнения $A = B$, будет также являться решением для уравнения $A + c = B + c$, и наоборот.

Это одно из фундаментальных правил, которое используется для решения уравнений. Например, операция "переноса слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком" как раз и является следствием этого правила.

Рассмотрим пример. Дано уравнение:

$5x - 4 = 11$

Прибавим к обеим его частям число 4:

$(5x - 4) + 4 = 11 + 4$

В результате получаем более простое, но равносильное уравнение:

$5x = 15$

Корень этого уравнения $x = 3$ является также и корнем исходного уравнения $5x - 4 = 11$.

Ответ: Если к обеим частям данного уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное (эквивалентное) данному.

2. По какому правилу переносят слагаемые из одной части уравнения в другую?

Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя их знак на противоположный. Это правило является следствием основного свойства равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное равенство.

Рассмотрим, как это работает на примере. Допустим, у нас есть уравнение:

$x + 7 = 15$

Наша цель — найти значение $x$. Для этого нам нужно, чтобы в левой части уравнения остался только $x$. Чтобы избавиться от слагаемого $7$ в левой части, мы можем вычесть число $7$ из обеих частей уравнения. Равенство при этом сохранится.

$(x + 7) - 7 = 15 - 7$

В левой части $7 - 7 = 0$, поэтому получаем:

$x = 15 - 7$

$x = 8$

Если сравнить исходное уравнение ($x + 7 = 15$) с преобразованным ($x = 15 - 7$), можно увидеть, что слагаемое $7$ «перешло» из левой части в правую, изменив свой знак с «+» на «–».

Рассмотрим другой пример:

$2y - 5 = 11$

Чтобы «перенести» слагаемое $-5$ из левой части в правую, мы прибавляем $5$ к обеим частям уравнения:

$(2y - 5) + 5 = 11 + 5$

$2y = 11 + 5$

$2y = 16$

$y = 8$

Здесь слагаемое $-5$ перешло в правую часть и стало $+5$.

Таким образом, правило переноса слагаемых — это просто более короткий и удобный способ выполнения одного и того же математического действия (прибавления или вычитания одного и того же числа к обеим частям уравнения).

Ответ: Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

3. Какое уравнение получится, если умножить или разделить обе части данного уравнения на одно и то же отличное от нуля число?

Если умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное (или эквивалентное) уравнение.

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые корни (или не имеют корней вовсе). Это означает, что множество решений нового уравнения будет в точности совпадать с множеством решений исходного уравнения. Это одно из фундаментальных свойств уравнений, которое позволяет преобразовывать их для нахождения решения.

Пусть дано исходное уравнение вида:

$f(x) = g(x)$

И пусть есть число $c$, такое что $c \neq 0$.

Тогда, если мы умножим обе части уравнения на $c$, мы получим новое уравнение:

$c \cdot f(x) = c \cdot g(x)$

А если разделим обе части на $c$, то получим:

$\frac{f(x)}{c} = \frac{g(x)}{c}$

Оба полученных уравнения будут равносильны исходному. Любой корень исходного уравнения будет корнем нового, и наоборот.

Пример:

Рассмотрим уравнение $2x + 4 = 10$.

Его корень: $2x = 10 - 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

Теперь умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (2x + 4) = 3 \cdot 10$

$6x + 12 = 30$

Найдем корень нового уравнения: $6x = 30 - 12 \implies 6x = 18 \implies x = 3$. Корень совпал.

Теперь разделим обе части исходного уравнения на 2:

$\frac{2x + 4}{2} = \frac{10}{2}$

$x + 2 = 5$

Найдем корень этого уравнения: $x = 5 - 2 \implies x = 3$. Корень снова совпал.

Почему важно, чтобы число было не равно нулю?

Умножение на ноль приведет к тождеству $0=0$, которое верно для любого $x$, и мы потеряем информацию о корнях исходного уравнения. Деление на ноль является недопустимой математической операцией.

Ответ: Получится равносильное (эквивалентное) уравнение, то есть уравнение, имеющее те же самые корни, что и исходное.

1. Упростите выражение:

1) $m - 4,6 + 2,8 - m$;

2) $3n - (8n - 5)$;

3) $10x - 5(-y - 2x)$;

4) $-(3,2 - p) + (-p - 0,8)$.

1) Чтобы упростить выражение $m - 4,6 + 2,8 - m$, сгруппируем подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются $m$ и $-m$, а также числовые слагаемые $-4,6$ и $2,8$.
$m - 4,6 + 2,8 - m = (m - m) + (-4,6 + 2,8)$
Выполним вычисления в каждой группе:
$m - m = 0$
$-4,6 + 2,8 = -1,8$
Таким образом, выражение упрощается до $-1,8$.
Ответ: $-1,8$

2) Чтобы упростить выражение $3n - (8n - 5)$, сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$3n - (8n - 5) = 3n - 8n + 5$
Теперь приведем подобные слагаемые $3n$ и $-8n$.
$3n - 8n = (3 - 8)n = -5n$
Получаем выражение $-5n + 5$.
Ответ: $-5n + 5$

3) Чтобы упростить выражение $10x - 5(-y - 2x)$, используем распределительное свойство умножения. Раскроем скобки, умножив $-5$ на каждое слагаемое внутри скобок.
$-5 \cdot (-y) = 5y$
$-5 \cdot (-2x) = 10x$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$10x - 5(-y - 2x) = 10x + 5y + 10x$
Теперь приведем подобные слагаемые $10x$ и $10x$.
$10x + 10x = 20x$
Окончательный вид выражения: $20x + 5y$.
Ответ: $20x + 5y$

4) Чтобы упростить выражение $-(3,2 - p) + (-p - 0,8)$, раскроем обе скобки.
Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$-(3,2 - p) = -3,2 + p$
Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри нее не меняются:
$+(-p - 0,8) = -p - 0,8$
Теперь запишем все выражение без скобок:
$-3,2 + p - p - 0,8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: переменные $p$ и $-p$, и числа $-3,2$ и $-0,8$.
$(p - p) + (-3,2 - 0,8)$
$p - p = 0$
$-3,2 - 0,8 = -4$
Следовательно, выражение равно $-4$.
Ответ: $-4$

2. Чему равна сумма 1000 слагаемых, каждое из которых равно $-1$?

Чтобы найти сумму 1000 одинаковых слагаемых, можно заменить операцию сложения на умножение. Нам нужно сложить число -1 само с собой 1000 раз.

Это можно записать в виде суммы:

$S = \underbrace{(-1) + (-1) + \dots + (-1)}_{1000 \text{ раз}}$

Такая сумма эквивалентна произведению количества слагаемых на значение каждого слагаемого:

$S = 1000 \times (-1)$

При умножении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

$1000 \times (-1) = -1000$

Ответ: -1000

3. Чему равно произведение 1000 множителей, каждый из которых равен -1?

Требуется найти произведение 1000 множителей, где каждый множитель равен -1. Такое произведение можно представить в виде степени числа -1:

$ \underbrace{(-1) \cdot (-1) \cdot \dots \cdot (-1)}_{1000 \text{ раз}} = (-1)^{1000} $

При возведении отрицательного числа в степень знак результата зависит от четности показателя степени. Существует общее правило:

1. Если отрицательное число возводится в четную степень, результат будет положительным. Например, $ (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 $.

2. Если отрицательное число возводится в нечетную степень, результат будет отрицательным. Например, $ (-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1 $.

В данной задаче показатель степени равен 1000. Число 1000 является четным, так как оно делится на 2 без остатка ($1000 : 2 = 500$). Следовательно, результат возведения -1 в степень 1000 будет положительным.

$ (-1)^{1000} = 1 $

Ответ: 1

4. В санаторий завезли фрукты. Среди них было 180 кг апельсинов, что составляло 0,3 массы всех фруктов. Сколько килограммов фруктов завезли в санаторий?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество фруктов, зная его часть.

Пусть $x$ — это общая масса всех фруктов, которые завезли в санаторий. Из условия известно, что масса апельсинов составляет 180 кг, и это 0,3 от общей массы всех фруктов. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение:

$0,3 \cdot x = 180$

Чтобы найти $x$ (общую массу), нужно известную массу (180 кг) разделить на долю, которую она составляет (0,3):

$x = 180 / 0,3$

Выполним деление:

$x = 1800 / 3 = 600$

Таким образом, общая масса фруктов, завезенных в санаторий, составляет 600 кг.

Ответ: 600 кг.