Номер 3, страница 261 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 37. Решение уравнений. Глава 4. Рациональные числа - номер 3, страница 261.

Условие.

3. Какое уравнение получится, если умножить или разделить обе части данного уравнения на одно и то же отличное от нуля число?

Решение.

Решение 2.

Если умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное (или эквивалентное) уравнение.

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые корни (или не имеют корней вовсе). Это означает, что множество решений нового уравнения будет в точности совпадать с множеством решений исходного уравнения. Это одно из фундаментальных свойств уравнений, которое позволяет преобразовывать их для нахождения решения.

Пусть дано исходное уравнение вида:

$f(x) = g(x)$

И пусть есть число $c$, такое что $c \neq 0$.

Тогда, если мы умножим обе части уравнения на $c$, мы получим новое уравнение:

$c \cdot f(x) = c \cdot g(x)$

А если разделим обе части на $c$, то получим:

$\frac{f(x)}{c} = \frac{g(x)}{c}$

Оба полученных уравнения будут равносильны исходному. Любой корень исходного уравнения будет корнем нового, и наоборот.

Пример:

Рассмотрим уравнение $2x + 4 = 10$.

Его корень: $2x = 10 - 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

Теперь умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (2x + 4) = 3 \cdot 10$

$6x + 12 = 30$

Найдем корень нового уравнения: $6x = 30 - 12 \implies 6x = 18 \implies x = 3$. Корень совпал.

Теперь разделим обе части исходного уравнения на 2:

$\frac{2x + 4}{2} = \frac{10}{2}$

$x + 2 = 5$

Найдем корень этого уравнения: $x = 5 - 2 \implies x = 3$. Корень снова совпал.

Почему важно, чтобы число было не равно нулю?

Умножение на ноль приведет к тождеству $0=0$, которое верно для любого $x$, и мы потеряем информацию о корнях исходного уравнения. Деление на ноль является недопустимой математической операцией.

Ответ: Получится равносильное (эквивалентное) уравнение, то есть уравнение, имеющее те же самые корни, что и исходное.