Номер 1268, страница 259 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 36. Деление рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1268, страница 259.

Условие.

1268. Какие из данных уравнений:

а) имеют бесконечно много корней;

б) не имеют корней:

1) $2x - 1 = 3$;

2) $3x + 2 = 2$;

3) $x + 2 = x + 2$;

4) $2x + 2 = 2(x + 1)$;

5) $x + 2 = 3 + x$;

6) $0 \cdot x = 3$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить количество корней каждого уравнения, приведем их к виду $ax = b$ и проанализируем результат.

а) имеют бесконечно много корней

Уравнение имеет бесконечно много корней, если в результате преобразований оно сводится к тождеству $0 \cdot x = 0$, то есть к верному числовому равенству $0 = 0$. Это означает, что любое число является корнем уравнения.

Рассмотрим данные уравнения:

1) $2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Уравнение имеет один корень.

2) $3x + 2 = 2 \implies 3x = 0 \implies x = 0$. Уравнение имеет один корень.

3) $x + 2 = x + 2 \implies x - x = 2 - 2 \implies 0 \cdot x = 0$. Это верное равенство для любого значения $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней.

4) $2x + 2 = 2(x + 1) \implies 2x + 2 = 2x + 2 \implies 2x - 2x = 2 - 2 \implies 0 \cdot x = 0$. Это также верное равенство для любого $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней.

5) $x + 2 = 3 + x \implies x - x = 3 - 2 \implies 0 \cdot x = 1$. Это неверное равенство. Уравнение не имеет корней.

6) $0 \cdot x = 3$. Левая часть всегда равна 0, поэтому получаем неверное равенство $0 = 3$. Уравнение не имеет корней.

Следовательно, уравнения 3) и 4) имеют бесконечно много корней.

Ответ: 3), 4).

б) не имеют корней

Уравнение не имеет корней, если в результате преобразований оно сводится к неверному числовому равенству вида $0 \cdot x = b$, где $b \neq 0$. Такое равенство ($0 = b$) не может быть верным ни при каком значении $x$.

Используя анализ из предыдущего пункта, мы видим, что:

1) Уравнение $2x - 1 = 3$ имеет один корень.

2) Уравнение $3x + 2 = 2$ имеет один корень.

3) Уравнение $x + 2 = x + 2$ имеет бесконечно много корней.

4) Уравнение $2x + 2 = 2(x + 1)$ имеет бесконечно много корней.

5) Уравнение $x + 2 = 3 + x$ сводится к неверному равенству $0 = 1$. Следовательно, оно не имеет корней.

6) Уравнение $0 \cdot x = 3$ является неверным равенством $0 = 3$. Следовательно, оно не имеет корней.

Следовательно, уравнения 5) и 6) не имеют корней.

Ответ: 5), 6).