Страница 267 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Найдите произведение корней уравнения $(x + 6)(x - 1,5) = 0$.

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю: $(x + 6)(x - 1,5) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, чтобы найти корни уравнения, необходимо приравнять к нулю каждый из множителей.

1. Приравниваем к нулю первую скобку:
$x + 6 = 0$
$x_1 = -6$

2. Приравниваем к нулю вторую скобку:
$x - 1,5 = 0$
$x_2 = 1,5$

Мы нашли два корня уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1,5$.

Теперь, согласно условию задачи, найдем их произведение:
$x_1 \cdot x_2 = (-6) \cdot 1,5$
$(-6) \cdot 1,5 = -9$

Ответ: -9

2. Какие из данных уравнений не имеют корней:

1) $0x = 0$;

2) $x - 2 = 5 + x$,

3) $x^2 = x$;

4) $|x| + 2 = 1$?

Чтобы определить, какие из уравнений не имеют корней, необходимо проанализировать каждое из них.

1) 0x = 0;
Это уравнение является верным равенством при любом значении переменной $x$, так как произведение любого числа на ноль равно нулю. В результате мы получаем тождество $0 = 0$. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.
Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней.

2) x - 2 = 5 + x;
Для решения этого линейного уравнения перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$x - x = 5 + 2$
$0 \cdot x = 7$
$0 = 7$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.
Ответ: уравнение не имеет корней.

3) x² = x;
Это квадратное уравнение. Перенесём все члены в левую часть:
$x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных случая:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Ответ: уравнение имеет два корня.

4) |x| + 2 = 1;
Это уравнение, содержащее модуль. Выразим $|x|$:
$|x| = 1 - 2$
$|x| = -1$
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $|x| \ge 0$. Так как -1 — отрицательное число, то данное уравнение не может иметь решений в множестве действительных чисел.
Ответ: уравнение не имеет корней.

Таким образом, уравнения, которые не имеют корней, — это уравнения под номерами 2 и 4.

3. Вычислите значение выражения:

1) $(1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}) : \frac{5}{24}$

2) $\frac{4}{39} : (1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{7})$

1)

Для вычисления значения выражения $\left(1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) : \frac{5}{24}$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем вычитание), а после — деление.

1. Выполним умножение дробей в скобках:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12}$
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

2. Выполним вычитание в скобках:
$1 - \frac{1}{2}$
Представим 1 как дробь $\frac{2}{2}$:
$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

3. Выполним деление:
$\frac{1}{2} : \frac{5}{24}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{24}{5} = \frac{1 \cdot 24}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10}$

4. Сократим результат:
$\frac{24}{10} = \frac{12}{5}$
Переведем неправильную дробь в десятичную:
$\frac{12}{5} = 2.4$

Ответ: $2.4$.

2)

Для вычисления значения выражения $\frac{4}{39} : \left(1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{7}\right)$ сначала выполним действия в скобках (умножение, затем вычитание), а после этого — деление.

1. Выполним умножение дробей в скобках:
$\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 7}$
Сократим одинаковые множители (7) в числителе и знаменателе:
$\frac{3}{9}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

2. Выполним вычитание в скобках:
$1 - \frac{1}{3}$
Представим 1 как дробь $\frac{3}{3}$:
$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$

3. Выполним деление:
$\frac{4}{39} : \frac{2}{3}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{4}{39} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{39 \cdot 2}$

4. Сократим множители перед вычислением: 4 и 2 сокращаются на 2, а 3 и 39 — на 3.
$\frac{4 \cdot 3}{39 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 1}{13 \cdot 1} = \frac{2}{13}$

Ответ: $\frac{2}{13}$.