Страница 263 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1272. Решите уравнение:

1) $-6(x + 2) = 4x - 17;$

2) $(18x - 19) - (4 - 7x) = -73;$

3) $10x + 3(7 - 2x) = 13 + 2x;$

4) $-3(4 - 5y) + 2(3 - 6y) = -3,9.$

1) $-6(x + 2) = 4x - 17$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-6$ на каждый член в скобках:

$-6 \cdot x - 6 \cdot 2 = 4x - 17$

$-6x - 12 = 4x - 17$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные члены — в другой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$-6x - 4x = -17 + 12$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$-10x = -5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-10$:

$x = \frac{-5}{-10}$

$x = 0,5$

Ответ: $0,5$

2) $(18x - 19) - (4 - 7x) = -73$

Раскроем скобки. Перед первой скобкой нет знака, поэтому мы ее просто убираем. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

$18x - 19 - 4 + 7x = -73$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: слагаемые с $x$ и числовые слагаемые.

$(18x + 7x) + (-19 - 4) = -73$

$25x - 23 = -73$

Перенесем постоянный член $-23$ из левой части в правую, изменив его знак на «плюс».

$25x = -73 + 23$

$25x = -50$

Разделим обе части уравнения на $25$, чтобы найти $x$.

$x = \frac{-50}{25}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

3) $10x + 3(7 - 2x) = 13 + 2x$

Раскроем скобки в левой части, умножив $3$ на каждый член в скобках.

$10x + 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-2x) = 13 + 2x$

$10x + 21 - 6x = 13 + 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(10x - 6x) + 21 = 13 + 2x$

$4x + 21 = 13 + 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки.

$4x - 2x = 13 - 21$

Снова приведем подобные слагаемые.

$2x = -8$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $2$.

$x = \frac{-8}{2}$

$x = -4$

Ответ: $-4$

4) $-3(4 - 5y) + 2(3 - 6y) = -3,9$

Раскроем обе скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство умножения.

$(-3 \cdot 4) + (-3 \cdot -5y) + (2 \cdot 3) + (2 \cdot -6y) = -3,9$

$-12 + 15y + 6 - 12y = -3,9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части: слагаемые с $y$ и числовые слагаемые.

$(15y - 12y) + (-12 + 6) = -3,9$

$3y - 6 = -3,9$

Перенесем $-6$ в правую часть, изменив знак на противоположный.

$3y = -3,9 + 6$

$3y = 2,1$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $3$.

$y = \frac{2,1}{3}$

$y = 0,7$

Ответ: $0,7$

1273. Найдите корень уравнения:

1) $9(x - 1) = x + 15$;

2) $(11x + 14) - (5x - 8) = 25$;

3) $12 - 4(x - 3) = 39 - 9x$;

4) $2(3x + 5) - 3(4x - 1) = 11,8$.

1) $9(x - 1) = x + 15$
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$9x - 9 = x + 15$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$9x - x = 15 + 9$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$8x = 24$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = 24 / 8$
$x = 3$
Ответ: 3

2) $(11x + 14) - (5x - 8) = 25$
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$11x + 14 - 5x + 8 = 25$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(11x - 5x) + (14 + 8) = 25$
$6x + 22 = 25$
Перенесем 22 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$6x = 25 - 22$
$6x = 3$
Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:
$x = 3 / 6$
$x = 0.5$
Ответ: 0.5

3) $12 - 4(x - 3) = 39 - 9x$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив -4 на каждое слагаемое в скобках:
$12 - 4x + 12 = 39 - 9x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24 - 4x = 39 - 9x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-4x + 9x = 39 - 24$
Приведем подобные слагаемые:
$5x = 15$
Найдем $x$, разделив обе части на 5:
$x = 15 / 5$
$x = 3$
Ответ: 3

4) $2(3x + 5) - 3(4x - 1) = 11.8$
Раскроем обе скобки в левой части уравнения:
$6x + 10 - 12x + 3 = 11.8$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(6x - 12x) + (10 + 3) = 11.8$
$-6x + 13 = 11.8$
Перенесем 13 в правую часть с противоположным знаком:
$-6x = 11.8 - 13$
$-6x = -1.2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на -6:
$x = -1.2 / (-6)$
$x = 0.2$
Ответ: 0.2

1274. Решите уравнение:

1) $0.8(4x + 5) = -3.2;$

2) $-2.4(7 - 9y) = -48.$

1) $0,8(4x + 5) = -3,2$

Чтобы решить уравнение, сначала разделим обе его части на коэффициент перед скобкой, то есть на $0,8$.

$4x + 5 = -3,2 : 0,8$

$4x + 5 = -4$

Теперь перенесем число $5$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$4x = -4 - 5$

$4x = -9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $4$.

$x = -9 : 4$

$x = -2,25$

Ответ: $-2,25$.

2) $-2,4(7 - 9y) = -48$

Для начала разделим обе части уравнения на $-2,4$.

$7 - 9y = -48 : (-2,4)$

$7 - 9y = 20$

Теперь перенесем $7$ из левой части в правую со знаком минус.

$-9y = 20 - 7$

$-9y = 13$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на $-9$.

$y = 13 : (-9)$

$y = -\frac{13}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$y = -1\frac{4}{9}$

Ответ: $-1\frac{4}{9}$.

1275. Решите уравнение:

1) $-7(2 - 3x) = 56;$

2) $(5 + 7a) \cdot 15 = -30.$

1) $-7(2 - 3x) = 56$
Для решения данного уравнения разделим обе его части на $-7$:
$2 - 3x = 56 : (-7)$
$2 - 3x = -8$
Теперь перенесем число $2$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$-3x = -8 - 2$
$-3x = -10$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-3$:
$x = \frac{-10}{-3}$
$x = \frac{10}{3}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$x = 3\frac{1}{3}$
Ответ: $3\frac{1}{3}$

2) $(5 + 7a) \cdot 15 = -30$
Разделим обе части уравнения на $15$:
$5 + 7a = -30 : 15$
$5 + 7a = -2$
Перенесем число $5$ из левой части в правую с противоположным знаком:
$7a = -2 - 5$
$7a = -7$
Найдем $a$, разделив обе части уравнения на $7$:
$a = -7 : 7$
$a = -1$
Ответ: $-1$

1276. Найдите корень уравнения:

1) $0,3m + 2(0,2m - 0,3) = 0,8 - 0,7(m - 2);$

2) $0,6 - (1,3x + 1) = 2,8x - 13,52;$

3) $\frac{1}{8}\left(\frac{8}{9}y + 8\right) - \frac{1}{5}\left(\frac{5}{6}y + 1\frac{2}{3}\right) = 2.$

1)

Дано уравнение: $0,3m + 2(0,2m - 0,3) = 0,8 - 0,7(m - 2)$

Первым шагом раскроем скобки в обеих частях уравнения.

В левой части: $2(0,2m - 0,3) = 2 \cdot 0,2m - 2 \cdot 0,3 = 0,4m - 0,6$

В правой части: $-0,7(m - 2) = -0,7 \cdot m - 0,7 \cdot (-2) = -0,7m + 1,4$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$0,3m + 0,4m - 0,6 = 0,8 - 0,7m + 1,4$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $0,3m + 0,4m = 0,7m$

В правой части: $0,8 + 1,4 = 2,2$

Уравнение принимает вид:

$0,7m - 0,6 = 2,2 - 0,7m$

Перенесем все слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки на противоположные при переносе.

$0,7m + 0,7m = 2,2 + 0,6$

Снова приведем подобные слагаемые:

$1,4m = 2,8$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на $1,4$.

$m = \frac{2,8}{1,4}$

$m = 2$

Ответ: 2

2)

Дано уравнение: $0,6 - (1,3x + 1) = 2,8x - 13,52$

Раскроем скобки в левой части. Поскольку перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$0,6 - 1,3x - 1 = 2,8x - 13,52$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(0,6 - 1) - 1,3x = -0,4 - 1,3x$

Уравнение принимает вид:

$-0,4 - 1,3x = 2,8x - 13,52$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую.

$-0,4 + 13,52 = 2,8x + 1,3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$13,12 = (2,8 + 1,3)x$

$13,12 = 4,1x$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $4,1$.

$x = \frac{13,12}{4,1}$

Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе: $x = \frac{131,2}{41}$

$x = 3,2$

Ответ: 3,2

3)

Дано уравнение: $\frac{1}{8}\left(\frac{8}{9}y + 8\right) - \frac{1}{5}\left(\frac{5}{6}y + 1\frac{2}{3}\right) = 2$

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Уравнение примет вид: $\frac{1}{8}\left(\frac{8}{9}y + 8\right) - \frac{1}{5}\left(\frac{5}{6}y + \frac{5}{3}\right) = 2$

Теперь раскроем скобки, умножив множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри них.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{9}y + \frac{1}{8} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}y - \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3} = 2$

Выполним умножение дробей:

$\frac{8}{72}y + \frac{8}{8} - \frac{5}{30}y - \frac{5}{15} = 2$

Сократим дроби:

$\frac{1}{9}y + 1 - \frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = 2$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые:

$\left(\frac{1}{9}y - \frac{1}{6}y\right) + \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю. Для $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{6}$ общий знаменатель 18. Для $1$ и $\frac{1}{3}$ общий знаменатель 3.

$\left(\frac{2}{18}y - \frac{3}{18}y\right) + \left(\frac{3}{3} - \frac{1}{3}\right) = 2$

Выполним вычитание:

$-\frac{1}{18}y + \frac{2}{3} = 2$

Перенесем $\frac{2}{3}$ в правую часть уравнения:

$-\frac{1}{18}y = 2 - \frac{2}{3}$

$-\frac{1}{18}y = \frac{6}{3} - \frac{2}{3}$

$-\frac{1}{18}y = \frac{4}{3}$

Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $-18$.

$y = \frac{4}{3} \cdot (-18)$

$y = \frac{4 \cdot (-18)}{3} = 4 \cdot (-6)$

$y = -24$

Ответ: -24

1277. Решите уравнение:

1) $0.4(x - 3) - 1.6 = 5(0.1x - 0.5);$

2) $1.5(2x - 5) + 2x = 5(0.5x - 1.5) - 10;$

3) $\frac{2}{3}\left(1\frac{1}{2}x + \frac{3}{5}\right) - \frac{4}{5}\left(\frac{5}{12}x - \frac{1}{2}\right) = 1\frac{3}{5}.$

1) $0,4(x - 3) - 1,6 = 5(0,1x - 0,5)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4 \cdot x - 0,4 \cdot 3 - 1,6 = 5 \cdot 0,1x - 5 \cdot 0,5$

$0,4x - 1,2 - 1,6 = 0,5x - 2,5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0,4x - 2,8 = 0,5x - 2,5$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $0,4x$ вправо, а $-2,5$ влево, меняя знаки при переносе:

$-2,8 + 2,5 = 0,5x - 0,4x$

$-0,3 = 0,1x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $0,1$:

$x = \frac{-0,3}{0,1}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

2) $1,5(2x - 5) + 2x = 5(0,5x - 1,5) - 10$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1,5 \cdot 2x - 1,5 \cdot 5 + 2x = 5 \cdot 0,5x - 5 \cdot 1,5 - 10$

$3x - 7,5 + 2x = 2,5x - 7,5 - 10$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(3x + 2x) - 7,5 = 2,5x - (7,5 + 10)$

$5x - 7,5 = 2,5x - 17,5$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо, меняя их знаки:

$5x - 2,5x = -17,5 + 7,5$

$2,5x = -10$

Найдем $x$, разделив обе части на $2,5$:

$x = \frac{-10}{2,5}$

$x = -4$

Ответ: $-4$.

3) $\frac{2}{3}(1\frac{1}{2}x + \frac{3}{5}) - \frac{4}{5}(\frac{5}{12}x - \frac{1}{2}) = 1\frac{3}{5}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

Уравнение примет вид:

$\frac{2}{3}(\frac{3}{2}x + \frac{3}{5}) - \frac{4}{5}(\frac{5}{12}x - \frac{1}{2}) = \frac{8}{5}$

Теперь раскроем скобки, умножая множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобки:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x) + (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}) - (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{12}x) - (-\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{8}{5}$

$x + \frac{2}{5} - \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 12}x + \frac{4}{10} = \frac{8}{5}$

$x + \frac{2}{5} - \frac{1}{3}x + \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x - \frac{1}{3}x) + (\frac{2}{5} + \frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$

$(\frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x) + \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

$\frac{2}{3}x + \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

Перенесем $\frac{4}{5}$ в правую часть с противоположным знаком:

$\frac{2}{3}x = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}$

$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{2}$:

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}$

$x = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$x = 1,2$

Ответ: $1,2$.

1278. Чему равен корень уравнения:

1) $-9(6x + 1) = -45(2x + 2,6);$

2) $0,6(2x + 1) = -1,8(3x - 4)?$

1)

Дано уравнение: $-9(6x + 1) = -45(2x + 2,6)$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на $-9$:

$\frac{-9(6x + 1)}{-9} = \frac{-45(2x + 2,6)}{-9}$

$6x + 1 = 5(2x + 2,6)$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $5$ на каждый член в скобках:

$6x + 1 = 5 \cdot 2x + 5 \cdot 2,6$

$6x + 1 = 10x + 13$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, меняя знаки при переносе:

$1 - 13 = 10x - 6x$

$-12 = 4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $4$:

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ответ: -3

2)

Дано уравнение: $0,6(2x + 1) = -1,8(3x - 4)$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на $0,6$:

$\frac{0,6(2x + 1)}{0,6} = \frac{-1,8(3x - 4)}{0,6}$

$2x + 1 = -3(3x - 4)$

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-3$ на каждый член в скобках:

$2x + 1 = -3 \cdot 3x - 3 \cdot (-4)$

$2x + 1 = -9x + 12$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки при переносе:

$2x + 9x = 12 - 1$

$11x = 11$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $11$:

$x = \frac{11}{11}$

$x = 1$

Ответ: 1

1279. Решите уравнение:

1) $ -1,4(x - 6) = 7(4x + 1,2) $;

2) $ 2,6(0,4x - 1,4) = -3,9(1,2x - 0,9) $.

1) $-1,4(x - 6) = 7(4x + 1,2)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab + ac$.

В левой части:

$-1,4 \cdot x - 1,4 \cdot (-6) = -1,4x + 8,4$

В правой части:

$7 \cdot 4x + 7 \cdot 1,2 = 28x + 8,4$

Теперь уравнение имеет вид:

$-1,4x + 8,4 = 28x + 8,4$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые – в другую. Перенесем $-1,4x$ в правую часть, а $8,4$ из правой части в левую, меняя знаки при переносе.

$8,4 - 8,4 = 28x + 1,4x$

Приведем подобные слагаемые:

$0 = 29,4x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $29,4$:

$x = \frac{0}{29,4}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

2) $2,6(0,4x - 1,4) = -3,9(1,2x - 0,9)$

Чтобы упростить уравнение, можно заметить, что коэффициенты перед скобками ($2,6$ и $-3,9$) делятся на $1,3$. Разделим обе части уравнения на $1,3$:

$\frac{2,6(0,4x - 1,4)}{1,3} = \frac{-3,9(1,2x - 0,9)}{1,3}$

$2(0,4x - 1,4) = -3(1,2x - 0,9)$

Теперь раскроем скобки:

$2 \cdot 0,4x - 2 \cdot 1,4 = -3 \cdot 1,2x - 3 \cdot (-0,9)$

$0,8x - 2,8 = -3,6x + 2,7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа – в правую часть уравнения, меняя знаки при переносе.

$0,8x + 3,6x = 2,7 + 2,8$

Приведем подобные слагаемые:

$4,4x = 5,5$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $4,4$:

$x = \frac{5,5}{4,4}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе и делимом, умножим числитель и знаменатель на $10$:

$x = \frac{55}{44}$

Сократим полученную дробь на общий делитель $11$:

$x = \frac{55 \div 11}{44 \div 11} = \frac{5}{4}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 1,25$

Ответ: $1,25$.

1280. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+0,4}{8} = \frac{0,7-x}{3} $;

2) $ \frac{5}{6} = \frac{5x+6}{2x+3,2} $.

1)

Дано уравнение в виде пропорции:

$\frac{x + 0,4}{8} = \frac{0,7 - x}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное умножение):

$3 \cdot (x + 0,4) = 8 \cdot (0,7 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член в скобках:

$3x + 3 \cdot 0,4 = 8 \cdot 0,7 - 8x$

$3x + 1,2 = 5,6 - 8x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а все числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$3x + 8x = 5,6 - 1,2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$11x = 4,4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 11:

$x = \frac{4,4}{11}$

$x = 0,4$

Ответ: $0,4$.

2)

Дано уравнение:

$\frac{5}{6} = \frac{5x + 6}{2x + 3,2}$

Это также пропорция. Прежде чем решать, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю:

$2x + 3,2 \neq 0$

$2x \neq -3,2$

$x \neq \frac{-3,2}{2}$

$x \neq -1,6$

Теперь применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5 \cdot (2x + 3,2) = 6 \cdot (5x + 6)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$10x + 5 \cdot 3,2 = 6 \cdot 5x + 6 \cdot 6$

$10x + 16 = 30x + 36$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $10x$ вправо, а 36 влево:

$16 - 36 = 30x - 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$-20 = 20x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 20:

$x = \frac{-20}{20}$

$x = -1$

Полученный корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1,6$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $-1$.

1281. Чему равен корень уравнения:

1) $\frac{x-8}{x+2} = \frac{7}{3};$

2) $\frac{4}{x-1,2} = \frac{15}{x-10}?$

1)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{x-8}{x+2} = \frac{7}{3}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то есть применим перекрестное умножение:

$3 \cdot (x-8) = 7 \cdot (x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x - 24 = 7x + 14$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 7x = 14 + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x = 38$

Найдем $x$, разделив обе части на $-4$:

$x = \frac{38}{-4}$

$x = -9,5$

Найденный корень $x = -9,5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq -2$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $-9,5$.

2)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{4}{x-1,2} = \frac{15}{x-10}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю.

$x - 1,2 \neq 0 \implies x \neq 1,2$

$x - 10 \neq 0 \implies x \neq 10$

Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):

$4 \cdot (x-10) = 15 \cdot (x-1,2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x - 40 = 15x - 18$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 15x = -18 + 40$

Приведем подобные слагаемые:

$-11x = 22$

Найдем $x$, разделив обе части на $-11$:

$x = \frac{22}{-11}$

$x = -2$

Найденный корень $x = -2$ удовлетворяет условиям ОДЗ ($x \neq 1,2$ и $x \neq 10$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $-2$.

1282. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{12} - \frac{x}{8} = \frac{7}{6};$

2) $\frac{13x}{21} + \frac{9x}{14} = -1;$

3) $-\frac{3x}{10} - \frac{7}{15} = \frac{x}{6}.$

1) $\frac{x}{12} - \frac{x}{8} = \frac{7}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12, 8 и 6 равно 24. Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от знаменателей:

$24 \cdot (\frac{x}{12} - \frac{x}{8}) = 24 \cdot \frac{7}{6}$

$\frac{24x}{12} - \frac{24x}{8} = \frac{24 \cdot 7}{6}$

$2x - 3x = 4 \cdot 7$

Теперь решим получившееся линейное уравнение:

$-x = 28$

$x = -28$

Ответ: -28

2) $\frac{13x}{21} + \frac{9x}{14} = -1$

Найдем наименьший общий знаменатель для 21 и 14. Разложим их на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$. Наименьшее общее кратное равно $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Умножим обе части уравнения на 42:

$42 \cdot (\frac{13x}{21} + \frac{9x}{14}) = 42 \cdot (-1)$

$\frac{42 \cdot 13x}{21} + \frac{42 \cdot 9x}{14} = -42$

$2 \cdot 13x + 3 \cdot 9x = -42$

Выполним умножение и сложение:

$26x + 27x = -42$

$53x = -42$

Найдем $x$:

$x = -\frac{42}{53}$

Ответ: $-\frac{42}{53}$

3) $-\frac{3x}{10} - \frac{7}{15} = \frac{x}{6}$

Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а постоянные слагаемые — в другую:

$-\frac{3x}{10} - \frac{x}{6} = \frac{7}{15}$

Найдем наименьшее общее кратное для знаменателей 10, 6 и 15. $10 = 2 \cdot 5$, $6 = 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(10, 6, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot (-\frac{3x}{10} - \frac{x}{6}) = 30 \cdot \frac{7}{15}$

$-\frac{30 \cdot 3x}{10} - \frac{30x}{6} = \frac{30 \cdot 7}{15}$

$-3 \cdot 3x - 5x = 2 \cdot 7$

Упростим и решим уравнение:

$-9x - 5x = 14$

$-14x = 14$

$x = \frac{14}{-14}$

$x = -1$

Ответ: -1

1283. Найдите корень уравнения:

1) $\frac{x}{3} + \frac{x}{12} = \frac{15}{4};$

2) $\frac{7x}{9} - \frac{3x}{4} = \frac{5}{12};$

3) $1 - \frac{8x}{15} = \frac{4x}{9}.$

1) $\frac{x}{3} + \frac{x}{12} = \frac{15}{4}$
Для решения данного уравнения необходимо избавиться от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3, 12 и 4. НОК(3, 12, 4) = 12.
$12 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{x}{12}) = 12 \cdot \frac{15}{4}$
Раскроем скобки:
$\frac{12x}{3} + \frac{12x}{12} = \frac{12 \cdot 15}{4}$
Сократим дроби:
$4x + x = 3 \cdot 15$
$5x = 45$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:
$x = \frac{45}{5}$
$x = 9$
Ответ: 9

2) $\frac{7x}{9} - \frac{3x}{4} = \frac{5}{12}$
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9, 4 и 12. НОК(9, 4, 12) = 36.
Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:
$36 \cdot (\frac{7x}{9} - \frac{3x}{4}) = 36 \cdot \frac{5}{12}$
$36 \cdot \frac{7x}{9} - 36 \cdot \frac{3x}{4} = 36 \cdot \frac{5}{12}$
Выполним сокращение:
$4 \cdot 7x - 9 \cdot 3x = 3 \cdot 5$
$28x - 27x = 15$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$x = 15$
Ответ: 15

3) $1 - \frac{8x}{15} = \frac{4x}{9}$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $\frac{8x}{15}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$1 = \frac{4x}{9} + \frac{8x}{15}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. НОК(9, 15) = 45.
Дополнительный множитель для первой дроби — $45 / 9 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $45 / 15 = 3$.
$1 = \frac{4x \cdot 5}{45} + \frac{8x \cdot 3}{45}$
$1 = \frac{20x}{45} + \frac{24x}{45}$
$1 = \frac{20x + 24x}{45}$
$1 = \frac{44x}{45}$
Из этого уравнения выразим $x$. Умножим обе части на 45:
$45 = 44x$
$x = \frac{45}{44}$
Представим ответ в виде смешанного числа:
$x = 1\frac{1}{44}$
Ответ: $1\frac{1}{44}$