Номер 1232, страница 254 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 35. Распределительное свойство умножения рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1232, страница 254.

Условие.

1232. Представьте в виде разности двух дробей с числителем 1 дробь:

1) $\frac{1}{12}$;

2) $\frac{2}{63}$;

3) $\frac{1}{4}$;

4) $\frac{3}{28}$;

5) $\frac{1}{24}$.

Решение.

Решение 2.

1) Требуется представить дробь $\frac{1}{12}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Формула разности таких дробей: $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{a \cdot b}$.
Следовательно, нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, для которых $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{12}$.
Рассмотрим простейший случай, когда $b-a = 1$ и $a \cdot b = 12$. Необходимо найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 12. Такими числами являются 3 и 4.
Пусть $a=3$ и $b=4$.
Проверка: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.

2) Требуется представить дробь $\frac{2}{63}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Используя формулу $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{a \cdot b}$, получаем равенство $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{2}{63}$.
Рассмотрим случай, когда $b-a = 2$ и $a \cdot b = 63$. Необходимо найти два числа, разность которых равна 2, а произведение — 63. Разложим 63 на множители: $63 = 1 \cdot 63 = 3 \cdot 21 = 7 \cdot 9$. Пара чисел 7 и 9 удовлетворяет условию, так как $9-7=2$.
Пусть $a=7$ и $b=9$.
Проверка: $\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{9-7}{7 \cdot 9} = \frac{2}{63}$.
Ответ: $\frac{2}{63} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$.

3) Требуется представить дробь $\frac{1}{4}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{4}$ следует уравнение $a \cdot b = 4(b-a)$.
Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $a$ через $b$:
$ab = 4b - 4a$
$ab + 4a = 4b$
$a(b+4) = 4b$
$a = \frac{4b}{b+4}$
Будем подбирать целые положительные значения $b$ так, чтобы $a$ также было целым и положительным.
Если $b=4$, то $a = \frac{4 \cdot 4}{4+4} = \frac{16}{8} = 2$.
Мы нашли пару чисел: $a=2$ и $b=4$.
Проверка: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.

4) Требуется представить дробь $\frac{3}{28}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{3}{28}$ рассмотрим случай, когда $b-a = 3$ и $a \cdot b = 28$.
Нам нужно найти два числа, разность которых равна 3, а произведение — 28. Разложим 28 на множители: $28 = 1 \cdot 28 = 2 \cdot 14 = 4 \cdot 7$. Пара чисел 4 и 7 удовлетворяет условию, так как $7-4=3$.
Пусть $a=4$ и $b=7$.
Проверка: $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7-4}{4 \cdot 7} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$.

5) Требуется представить дробь $\frac{1}{24}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.
Из равенства $\frac{b-a}{a \cdot b} = \frac{1}{24}$ следует уравнение $a \cdot b = 24(b-a)$.
Выразим $a$ через $b$:
$ab = 24b - 24a$
$ab + 24a = 24b$
$a(b+24) = 24b$
$a = \frac{24b}{b+24}$
Для поиска целочисленного решения можно переписать выражение: $a = \frac{24(b+24-24)}{b+24} = 24 - \frac{576}{b+24}$.
Чтобы $a$ было целым, $b+24$ должно быть делителем числа 576. Подберем подходящий делитель. Пусть $b+24 = 32$, тогда $b=8$.
Найдем $a$: $a = 24 - \frac{576}{32} = 24 - 18 = 6$.
Мы нашли пару чисел: $a=6$ и $b=8$.
Проверка: $\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{8-6}{6 \cdot 8} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$.