Номер 1174, страница 243 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 33. Умножение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа - номер 1174, страница 243.

Условие.

1174. В Российской Премьер-Лиге выступают 16 футбольных команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле.

В Российской Премьер-Лиге выступают $16$ команд. Каждая команда может сыграть матчи с остальными $15$ командами. Таким образом, количество матчей, сыгранных одной командой в любой момент чемпионата, может быть любым целым числом от $0$ (если команда еще не играла) до $15$ (если команда уже сыграла со всеми).

Рассмотрим количество сыгранных матчей каждой из $16$ команд. Допустим, от противного, что все $16$ команд сыграли разное количество матчей.

Возможные значения для количества сыгранных матчей — это целые числа из множества $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$. В этом множестве ровно $16$ различных значений. Если наше предположение верно, то для каждой команды количество сыгранных матчей уникально, а это значит, что в лиге должны быть команды, сыгравшие $0$ матчей, $1$ матч, $2$ матча, ..., и, наконец, $15$ матчей — то есть, реализованы все возможные варианты.

Однако такая ситуация невозможна. Проанализируем ее:

1. Если в лиге есть команда, сыгравшая $15$ матчей, это означает, что она сыграла со всеми остальными $15$ командами.

2. Если в лиге есть команда, сыгравшая $0$ матчей, это означает, что она не играла ни с кем.

Эти два утверждения не могут быть верны одновременно. Если команда А сыграла $15$ матчей (со всеми), то она должна была сыграть и с командой Б, которая, по нашему предположению, сыграла $0$ матчей. Но если они сыграли друг с другом, то команда Б уже не могла сыграть $0$ матчей, она сыграла как минимум один.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что все $16$ команд могли сыграть разное количество матчей, неверно.

Это означает, что по крайней мере две команды из $16$ должны иметь одинаковое количество сыгранных матчей.

Ответ: Утверждение доказано. В любой момент чемпионата не могут одновременно существовать команда, сыгравшая со всеми ($15$ матчей), и команда, не сыгравшая ни с кем ($0$ матчей). Поэтому из $16$ возможных значений количества матчей (от $0$ до $15$) в один момент времени могут быть представлены не более $15$ различных значений. Так как команд $16$, а возможных различных значений для количества сыгранных ими матчей не более $15$, по принципу Дирихле найдутся как минимум две команды с одинаковым числом сыгранных матчей.