Номер 1342, страница 276 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 39. Перпендикулярные прямые. Глава 4. Рациональные числа - номер 1342, страница 276.

Условие.

1342. Проведите прямую $d$ и отметьте точку $M$, ей не принадлежащую. Проведите через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $d$.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит в том, чтобы построить перпендикуляр к данной прямой $d$ из точки $M$, не лежащей на этой прямой. Такое построение выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений) по следующему алгоритму:

1. Проводим произвольную прямую $d$ и отмечаем точку $M$ вне этой прямой.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $M$ и проводим дугу окружности такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $d$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$.
3. Теперь с центрами в точках $A$ и $B$ проводим две дуги одинакового радиуса. Важно, чтобы этот радиус был больше половины длины отрезка $AB$ (это гарантирует пересечение дуг). Для удобства можно использовать тот же радиус, что и на предыдущем шаге, то есть равный $MA$.
4. Находим точку пересечения этих двух дуг. Обозначим её $N$.
5. С помощью линейки соединяем точки $M$ и $N$. Полученная прямая $MN$ (обозначим ее $m$) и будет искомым перпендикуляром.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий процесс построения:

Обоснование: По построению, точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как отрезки $MA$ и $MB$ являются радиусами одной дуги с центром в $M$). Точка $N$ также равноудалена от точек $A$ и $B$ (так как $NA$ и $NB$ являются радиусами равных дуг с центрами в $A$ и $B$). Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, является его серединным перпендикуляром. Следовательно, прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку отрезок $AB$ лежит на прямой $d$, то прямая $MN$ перпендикулярна прямой $d$. Таким образом, мы построили прямую $m$, которая удовлетворяет условиям задачи: она проходит через точку $M$ и $m \perp d$.

Ответ: Прямая $m$, построенная по описанному алгоритму, является искомой прямой, так как она проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $d$.