Номер 1345, страница 276 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 39. Перпендикулярные прямые. Глава 4. Рациональные числа - номер 1345, страница 276.

Условие.

1345. Начертите треугольник:

1) остроугольный;

2) тупоугольный;

3) прямоугольный.

Проведите через каждую вершину треугольника прямую, перпендикулярную противоположной стороне.

Решение.

Решение 2.

Задача заключается в том, чтобы для трёх видов треугольников (остроугольного, тупоугольного и прямоугольного) провести через каждую вершину прямую, перпендикулярную противоположной стороне. Такие прямые (или их отрезки от вершины до противоположной стороны) называются высотами треугольника.

1) остроугольный

Начертим остроугольный треугольник $ABC$, в котором все три угла острые (меньше $90^\circ$).

1. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $BC$. Получим высоту $AH_1$. Эта высота будет находиться внутри треугольника.
2. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $AC$. Получим высоту $BH_2$. Эта высота также будет находиться внутри треугольника.
3. Из вершины $C$ опустим перпендикуляр на противоположную сторону $AB$. Получим высоту $CH_3$. Она тоже будет находиться внутри треугольника.

Можно заметить, что все три проведённые прямые (высоты) пересекаются в одной точке, которая расположена внутри остроугольного треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ: В остроугольном треугольнике все три прямые, проведённые из вершин перпендикулярно противоположным сторонам, являются высотами, которые лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

2) тупоугольный

Начертим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle B$, тупой (больше $90^\circ$).

1. Проведём прямую из вершины $B$ перпендикулярно стороне $AC$. Эта высота, $BH_2$, будет лежать внутри треугольника.
2. Чтобы провести прямую из вершины $A$ перпендикулярно стороне $BC$, необходимо сначала продлить сторону $BC$ за пределы треугольника. Затем из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую $BC$. Основание этой высоты, точка $H_1$, будет лежать на продолжении стороны $BC$.
3. Аналогично, чтобы провести прямую из вершины $C$ перпендикулярно стороне $AB$, нужно продлить сторону $AB$. Затем из точки $C$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую $AB$. Основание этой высоты, точка $H_3$, будет лежать на продолжении стороны $AB$.

В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведённая из вершины тупого угла) находится внутри. Две другие высоты лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике одна высота лежит внутри, а две — снаружи. Для построения двух высот необходимо продлевать стороны треугольника. Все три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

3) прямоугольный

Начертим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.

1. Прямая, проведённая через вершину $A$ перпендикулярно противоположной стороне $BC$, совпадает с катетом $AC$. Таким образом, катет $AC$ является высотой.
2. Прямая, проведённая через вершину $B$ перпендикулярно противоположной стороне $AC$, совпадает с катетом $BC$. Таким образом, катет $BC$ является второй высотой.
3. Проведём прямую из вершины прямого угла $C$ перпендикулярно гипотенузе $AB$. Эта высота, $CH_3$, будет лежать внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами. Все три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке — в вершине прямого угла треугольника (в данном случае, в точке $C$).

Ответ: В прямоугольном треугольнике две из трёх искомых прямых совпадают с катетами, а третья является высотой, проведённой к гипотенузе. Все три прямые пересекаются в вершине прямого угла.