Страница 293 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Оля собрала в саду яблоки и груши, причём яблок было в 4 раза больше, чем груш. Сколько процентов собранных фруктов составляли яблоки?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество груш, которое собрала Оля, за $x$.

По условию, яблок было в 4 раза больше, чем груш. Следовательно, количество яблок равно $4 \times x = 4x$.

Теперь найдем общее количество собранных фруктов. Оно равно сумме количества яблок и количества груш:
Всего фруктов = $4x + x = 5x$.

Чтобы найти, сколько процентов от общего числа собранных фруктов составляют яблоки, нужно разделить количество яблок на общее количество фруктов и умножить полученное значение на 100%.

Доля яблок = $\frac{\text{количество яблок}}{\text{общее количество фруктов}} = \frac{4x}{5x}$.

Сократив $x$ в числителе и знаменателе, получим:
$\frac{4}{5}$

Теперь переведем эту долю в проценты:
$\frac{4}{5} \times 100\% = 0.8 \times 100\% = 80\%$.

Таким образом, яблоки составляют 80% от всех собранных фруктов.
Ответ: 80%

1406. Перерисуйте в тетрадь рисунок 285. Проведите через каждую из точек $A$ и $B$ прямую, параллельную прямой $m$.

Рис. 285

а

б

в

Задача состоит в построении прямой, проходящей через заданную точку и параллельной заданной прямой. Для этого можно использовать различные инструменты, например, угольник и линейку. Построение основано на свойстве параллельных прямых: если некоторая прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую, при этом соответственные углы равны.

а

В данном случае точки A и B расположены по разные стороны от прямой $m$. Построим для каждой точки свою параллельную прямую.

Построение для точки A:
1. Прикладываем один катет угольника к прямой $m$.
2. К другому катету угольника прикладываем линейку и надежно ее фиксируем.
3. Двигаем угольник вдоль линейки до тех пор, пока первый катет не пройдет через точку A.
4. Проводим вдоль этого катета прямую $a'$. По построению, прямая $a'$ проходит через точку A и параллельна прямой $m$ ($a' \parallel m$).

Построение для точки B:
1. Выполняем аналогичные действия для точки B. Сдвигаем угольник вдоль зафиксированной линейки, пока его катет не пройдет через точку B.
2. Проводим вдоль катета прямую $b'$. По построению, прямая $b'$ проходит через точку B и параллельна прямой $m$ ($b' \parallel m$).
В результате получены две прямые $a'$ и $b'$, каждая из которых параллельна прямой $m$. Так как они обе параллельны одной и той же прямой, они параллельны и между собой ($a' \parallel b'$).

Ответ: Построены две прямые: одна проходит через точку A, другая — через точку B. Обе прямые параллельны прямой $m$.

б

В этом случае прямая $m$ вертикальна, а точки A и B лежат по одну сторону от нее. Метод построения остается тем же.

1. Используя угольник и линейку, как описано в пункте а, строим прямую $a'$, проходящую через точку A и параллельную прямой $m$. Прямая $a'$ также будет вертикальной.
2. Аналогично строим прямую $b'$, проходящую через точку B и параллельную прямой $m$. Прямая $b'$ также будет вертикальной.
В результате будут построены две вертикальные прямые $a'$ и $b'$, параллельные прямой $m$ и друг другу.

Ответ: Построены две вертикальные прямые, проходящие через точки A и B соответственно, обе параллельные прямой $m$.

в

Здесь точки A и B расположены по одну сторону от наклонной прямой $m$. Решение полностью аналогично предыдущим пунктам.

1. С помощью угольника и линейки последовательно строим прямую $a'$, которая проходит через точку A и параллельна прямой $m$.
2. Тем же способом строим прямую $b'$, которая проходит через точку B и параллельна прямой $m$.
Полученные прямые $a'$ и $b'$ будут параллельны как исходной прямой $m$, так и между собой.

Ответ: Построены две прямые, проходящие через точки A и B соответственно, обе параллельные прямой $m$.

1407.Определите на глаз, а потом проверьте с помощью угольника и линейки, какие из прямых, изображённых на рисунке 286, параллельны.

Рис. 286

а Сначала определим параллельность прямых на глаз. Визуально кажется, что прямые a и c параллельны, в то время как прямая b имеет немного другой наклон и не параллельна им.

Для проверки этого предположения воспользуемся угольником и линейкой. Существует несколько способов проверки:

1. Метод скользящего угольника. Приложим один из катетов угольника к прямой a, а к другому катету приложим линейку. Теперь, удерживая линейку неподвижно, будем перемещать угольник вдоль неё. Сместив угольник так, чтобы его катет оказался на месте прямой c, мы увидим, что они совпадают. Это подтверждает, что прямые a и c параллельны ($a \parallel c$). Если же мы сместим угольник к прямой b, то катет угольника и прямая b не совпадут. Следовательно, прямая b не параллельна ни прямой a, ни прямой c.

2. Измерение расстояния. Проведем с помощью угольника перпендикуляр к прямой a в двух разных местах. Измерим линейкой расстояние вдоль этих перпендикуляров от прямой a до прямых b и c. Измерения покажут, что расстояние между прямыми a и c постоянно, в то время как расстояние между прямыми a и b (и, соответственно, b и c) изменяется. Это также доказывает, что только прямые a и c параллельны.

Ответ: параллельны прямые a и c.

б Визуально все четыре прямые — a, b, c и d — кажутся параллельными друг другу.

Проверим это с помощью угольника и линейки.

1. Метод скользящего угольника. Приложим катет угольника к прямой a, а линейку — к другому катету. Двигая угольник вдоль неподвижной линейки, будем последовательно совмещать его катет с прямыми b, c и d. Мы увидим, что катет угольника совпадает с каждой из этих прямых. Это доказывает, что все четыре прямые параллельны друг другу: $a \parallel b \parallel c \parallel d$.

2. Проверка по углам. Проведем любую прямую (секущую), которая пересекает все четыре прямые. С помощью угольника или транспортира измерим соответственные углы, образованные секущей с каждой из прямых a, b, c и d. Если все эти углы равны, то прямые параллельны. Проверка подтвердит, что углы равны.

Ответ: параллельны все прямые: a, b, c и d.

1408. Перерисуйте в тетрадь рисунок 287. Проведите через точку $O$ прямые, параллельные прямым $k$ и $p$.

Рис. 287

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрическое построение. Согласно аксиоме о параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Построение выполняется с помощью линейки и угольника (или двух угольников).

Построение прямой, параллельной k, через точку O

1. Приложите одну сторону угольника (катет) к прямой k.
2. К другой стороне угольника (второму катету) плотно приложите линейку.
3. Крепко держите линейку, а угольник двигайте вдоль нее, пока его сторона, которая была на прямой k, не коснется точки O.
4. Проведите прямую вдоль этой стороны угольника. Обозначим эту прямую k'. По построению, прямая k' проходит через точку O и параллельна прямой k ($k' \parallel k$).

Построение прямой, параллельной p, через точку O

1. Повторите аналогичные действия для прямой p. Приложите угольник к прямой p.
2. Приложите линейку к другой стороне угольника.
3. Перемещайте угольник вдоль зафиксированной линейки до тех пор, пока его сторона не пройдет через точку O.
4. Проведите прямую вдоль этой стороны. Обозначим ее p'. Прямая p' проходит через точку O и параллельна прямой p ($p' \parallel p$).

В результате будут построены две прямые k' и p', которые пересекаются в точке O.

Итоговый рисунок будет выглядеть следующим образом:

Ответ: На рисунке выше показаны прямые k' и p', проведенные через точку О параллельно прямым k и p соответственно.

1409. Начертите угол $MKE$, градусная мера которого равна:

1) $58^\circ$;

2) $116^\circ$;

3) $90^\circ$. Отметьте между сторонами угла точку $P$ и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла.

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрические построения с помощью линейки, транспортира и угольника (или второго ребра линейки для построения параллельных прямых).

1)

Шаг 1: Начертим угол $∠MKE$, равный $58°$.
- Проведем луч $KM$ с началом в точке $K$.
- Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $K$, а нулевая отметка на шкале легла на луч $KM$.
- Найдем на шкале транспортира отметку $58°$ и поставим в этом месте вспомогательную точку.
- Проведем второй луч $KE$ из точки $K$ через вспомогательную точку. Мы получили угол $∠MKE = 58°$.

Шаг 2: Отметим точку $P$ между сторонами угла $∠MKE$.
- Выберем любое место во внутренней области угла и поставим там точку $P$.

Шаг 3: Проведем через точку $P$ прямые, параллельные сторонам угла.
- Чтобы провести прямую, параллельную лучу $KM$, приложим к лучу $KM$ одну сторону угольника, а к другой его стороне — линейку. Затем, удерживая линейку неподвижно, будем двигать угольник вдоль неё, пока его сторона не окажется на точке $P$. Проведем по этой стороне прямую. Эта прямая будет параллельна $KM$.
- Аналогичную процедуру повторим для луча $KE$. Приложим угольник к лучу $KE$, к другой стороне угольника — линейку, и будем сдвигать угольник до точки $P$. Проведем вторую прямую через точку $P$. Она будет параллельна $KE$.

Ответ: Построение выполнено. Начерчен угол $∠MKE = 58°$, отмечена точка $P$ внутри него и через неё проведены две прямые, параллельные сторонам угла.

2)

Шаг 1: Начертим угол $∠MKE$, равный $116°$.
- Построение выполняется аналогично предыдущему пункту, но с помощью транспортира откладывается угол в $116°$. Это будет тупой угол.

Шаг 2: Отметим произвольную точку $P$ между сторонами угла $∠MKE$.

Шаг 3: Проведем через точку $P$ прямые, параллельные сторонам угла.
- Используя угольник и линейку, как описано в пункте 1, проведем одну прямую через точку $P$, параллельную лучу $KM$.
- Затем проведем вторую прямую через точку $P$, параллельную лучу $KE$.

Ответ: Построение выполнено. Начерчен угол $∠MKE = 116°$, отмечена точка $P$ внутри него и через неё проведены две прямые, параллельные сторонам угла.

3)

Шаг 1: Начертим угол $∠MKE$, равный $90°$.
- Такой угол (прямой) можно построить либо с помощью транспортира, отложив $90°$, либо с помощью прямого угла у чертежного угольника.

Шаг 2: Отметим произвольную точку $P$ между сторонами угла $∠MKE$.

Шаг 3: Проведем через точку $P$ прямые, параллельные сторонам угла.
- Используя угольник и линейку, как описано в пункте 1, последовательно проведем через точку $P$ две прямые: одну параллельно $KM$, другую параллельно $KE$.

Ответ: Построение выполнено. Начерчен угол $∠MKE = 90°$, отмечена точка $P$ внутри него и через неё проведены две прямые, параллельные сторонам угла.

1410. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противоположной стороне.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины $A$, $B$ и $C$. Стороны треугольника соответственно будут $AB$, $BC$ и $AC$.

2. Через вершину $A$ проведем прямую $m$, параллельную противоположной стороне $BC$. То есть, $m \parallel BC$.

3. Через вершину $B$ проведем прямую $n$, параллельную противоположной стороне $AC$. То есть, $n \parallel AC$.

4. Через вершину $C$ проведем прямую $k$, параллельную противоположной стороне $AB$. То есть, $k \parallel AB$.

В результате пересечения этих трех прямых ($m$, $n$ и $k$) образуется новый треугольник. Обозначим точки их пересечения как $A_1, B_1, C_1$.

• Прямые $n$ и $k$ пересекаются в точке $A_1$.
• Прямые $m$ и $k$ пересекаются в точке $B_1$.
• Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $C_1$.

Теперь рассмотрим свойства получившейся фигуры. Рассмотрим четырехугольник $ABCA_1$. По построению, прямая $k$ (проходящая через $C$ и $A_1$) параллельна $AB$, а прямая $n$ (проходящая через $B$ и $A_1$) параллельна $AC$. Таким образом, четырехугольник $AB A_1 C$ является параллелограммом (по определению). Из свойства параллелограмма следует, что $AB = A_1C$ и $AC = A_1B$.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $ACBC_1$. По построению $m \parallel BC$ и $n \parallel AC$. Следовательно, $ACBC_1$ — параллелограмм. Отсюда $AC = BC_1$ и $BC = AC_1$.

И наконец, четырехугольник $BCAB_1$ также является параллелограммом, так как $m \parallel BC$ и $k \parallel AB$. Отсюда $BC = AB_1$ и $AB = CB_1$.

Из полученных равенств мы можем сделать вывод о положении вершин исходного треугольника $A, B, C$ на сторонах нового треугольника $A_1B_1C_1$:

• Поскольку $A_1C = AB$ и $CB_1 = AB$, то $A_1C = CB_1$. Это означает, что точка $C$ является серединой стороны $A_1B_1$.
• Поскольку $A_1B = AC$ и $BC_1 = AC$, то $A_1B = BC_1$. Это означает, что точка $B$ является серединой стороны $A_1C_1$.
• Поскольку $B_1A = BC$ и $AC_1 = BC$, то $B_1A = AC_1$. Это означает, что точка $A$ является серединой стороны $B_1C_1$.

Таким образом, построенные прямые образуют новый треугольник, для которого вершины исходного треугольника являются серединами его сторон. Исходный треугольник $\triangle ABC$ является срединным треугольником для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: При проведении через каждую вершину треугольника прямой, параллельной противоположной стороне, образуется новый треугольник, для которого исходный треугольник является срединным (его вершины являются серединами сторон нового треугольника).