Номер 1410, страница 293 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 41. Параллельные прямые. Глава 4. Рациональные числа - номер 1410, страница 293.

Условие.

1410. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противоположной стороне.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины $A$, $B$ и $C$. Стороны треугольника соответственно будут $AB$, $BC$ и $AC$.

2. Через вершину $A$ проведем прямую $m$, параллельную противоположной стороне $BC$. То есть, $m \parallel BC$.

3. Через вершину $B$ проведем прямую $n$, параллельную противоположной стороне $AC$. То есть, $n \parallel AC$.

4. Через вершину $C$ проведем прямую $k$, параллельную противоположной стороне $AB$. То есть, $k \parallel AB$.

В результате пересечения этих трех прямых ($m$, $n$ и $k$) образуется новый треугольник. Обозначим точки их пересечения как $A_1, B_1, C_1$.

• Прямые $n$ и $k$ пересекаются в точке $A_1$.
• Прямые $m$ и $k$ пересекаются в точке $B_1$.
• Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $C_1$.

Теперь рассмотрим свойства получившейся фигуры. Рассмотрим четырехугольник $ABCA_1$. По построению, прямая $k$ (проходящая через $C$ и $A_1$) параллельна $AB$, а прямая $n$ (проходящая через $B$ и $A_1$) параллельна $AC$. Таким образом, четырехугольник $AB A_1 C$ является параллелограммом (по определению). Из свойства параллелограмма следует, что $AB = A_1C$ и $AC = A_1B$.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $ACBC_1$. По построению $m \parallel BC$ и $n \parallel AC$. Следовательно, $ACBC_1$ — параллелограмм. Отсюда $AC = BC_1$ и $BC = AC_1$.

И наконец, четырехугольник $BCAB_1$ также является параллелограммом, так как $m \parallel BC$ и $k \parallel AB$. Отсюда $BC = AB_1$ и $AB = CB_1$.

Из полученных равенств мы можем сделать вывод о положении вершин исходного треугольника $A, B, C$ на сторонах нового треугольника $A_1B_1C_1$:

• Поскольку $A_1C = AB$ и $CB_1 = AB$, то $A_1C = CB_1$. Это означает, что точка $C$ является серединой стороны $A_1B_1$.
• Поскольку $A_1B = AC$ и $BC_1 = AC$, то $A_1B = BC_1$. Это означает, что точка $B$ является серединой стороны $A_1C_1$.
• Поскольку $B_1A = BC$ и $AC_1 = BC$, то $B_1A = AC_1$. Это означает, что точка $A$ является серединой стороны $B_1C_1$.

Таким образом, построенные прямые образуют новый треугольник, для которого вершины исходного треугольника являются серединами его сторон. Исходный треугольник $\triangle ABC$ является срединным треугольником для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: При проведении через каждую вершину треугольника прямой, параллельной противоположной стороне, образуется новый треугольник, для которого исходный треугольник является срединным (его вершины являются серединами сторон нового треугольника).