Страница 294 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1411. Перенесите в тетрадь рисунок 288.

Проведите прямые $BC$, $CE$, $AD$, $DF$, $BE$ и $AF$. Определите, какие из этих прямых параллельны.

Рис. 288

Для того чтобы определить, какие из прямых параллельны, введем на плоскости прямоугольную систему координат. Пусть левый нижний узел сетки будет началом координат (0, 0), а сторона одной клетки — единичным отрезком по осям.

В этой системе координат точки будут иметь следующие координаты:

• A(1, 1)
• B(1, 4)
• C(3, 5)
• D(4, 3)
• E(6, 4)
• F(6, 1)

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент $k$ прямой, которая проходит через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Вычислим угловые коэффициенты для каждой из указанных прямых.

BC

Прямая проходит через точки B(1, 4) и C(3, 5). Ее угловой коэффициент:

$k_{BC} = \frac{5 - 4}{3 - 1} = \frac{1}{2}$

CE

Прямая проходит через точки C(3, 5) и E(6, 4). Ее угловой коэффициент:

$k_{CE} = \frac{4 - 5}{6 - 3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

AD

Прямая проходит через точки A(1, 1) и D(4, 3). Ее угловой коэффициент:

$k_{AD} = \frac{3 - 1}{4 - 1} = \frac{2}{3}$

DF

Прямая проходит через точки D(4, 3) и F(6, 1). Ее угловой коэффициент:

$k_{DF} = \frac{1 - 3}{6 - 4} = \frac{-2}{2} = -1$

BE

Прямая проходит через точки B(1, 4) и E(6, 4). Ее угловой коэффициент:

$k_{BE} = \frac{4 - 4}{6 - 1} = \frac{0}{5} = 0$

AF

Прямая проходит через точки A(1, 1) и F(6, 1). Ее угловой коэффициент:

$k_{AF} = \frac{1 - 1}{6 - 1} = \frac{0}{5} = 0$

Сравнивая полученные угловые коэффициенты, мы видим, что $k_{BE} = k_{AF} = 0$. Угловые коэффициенты остальных прямых имеют уникальные значения. Поскольку угловые коэффициенты прямых BE и AF равны, эти прямые параллельны. Нулевой угловой коэффициент означает, что обе прямые горизонтальны (параллельны оси абсцисс).

Ответ: Параллельными являются прямые BE и AF.

1412.Начертите четырёхугольник, у которого:

1) две стороны параллельны, а две другие – не параллельны;

2) противоположные стороны параллельны.

1) две стороны параллельны, а две другие — не параллельны;

Четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна, называется трапецией. Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. Если стороны $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$), а стороны $AD$ и $BC$ не параллельны ($AD \not\parallel BC$), то такой четырёхугольник является трапецией. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Для построения такой фигуры можно начертить две параллельные прямые, затем на одной прямой выбрать отрезок (одно основание), а на другой — другой отрезок (второе основание) и соединить их концы.

На рисунке изображена трапеция $ABCD$, у которой основания $AB$ и $DC$ параллельны, а боковые стороны $AD$ и $BC$ — нет.

Ответ: Четырёхугольник, удовлетворяющий данному условию, — это трапеция.

2) противоположные стороны параллельны.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Если в четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$), и сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$), то $ABCD$ — параллелограмм.

Для построения параллелограмма можно начертить сторону $AB$, затем из точки $A$ провести сторону $AD$. После этого через точку $B$ провести прямую, параллельную $AD$, а через точку $D$ — прямую, параллельную $AB$. Точка пересечения этих прямых будет четвёртой вершиной $C$.

На рисунке изображён параллелограмм $ABCD$, у которого $AB \parallel DC$ (обозначено одной стрелкой) и $AD \parallel BC$ (обозначено двумя стрелками). Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат.

Ответ: Четырёхугольник, удовлетворяющий данному условию, — это параллелограмм.

1413. Начертите:

1) пятиугольник, две стороны которого параллельны;

2) шестиугольник, у которого каждая сторона параллельна какой-либо другой стороне.

1) пятиугольник, две стороны которого параллельны

Чтобы начертить такой пятиугольник, можно взять за основу трапецию. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны. Затем одну из непараллельных сторон можно "изломать", добавив дополнительную вершину.

Построение:

1. Начертим две параллельные прямые.
2. На одной прямой отложим отрезок $BC$, а на другой — отрезок $AE$. Эти отрезки будут параллельными сторонами будущего пятиугольника.
3. Соединим концы отрезков так, чтобы получился замкнутый пятиугольник $ABCDE$. Для этого нужно добавить еще одну вершину $D$ и соединить точки в последовательности $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow A$.

Пример такого пятиугольника $ABCDE$ показан на рисунке ниже. У него стороны $AE$ и $BC$ параллельны, так как лежат на параллельных горизонтальных линиях.

В данном пятиугольнике $ABCDE$ сторона $AE$ параллельна стороне $BC$ ($AE \parallel BC$).

Ответ: Представлен рисунок и описание построения пятиугольника, у которого две стороны параллельны.

2) шестиугольник, у которого каждая сторона параллельна какой-либо другой стороне

Такой шестиугольник должен иметь три пары параллельных сторон. Одним из примеров является правильный шестиугольник, но это условие выполняется и для многих неправильных шестиугольников.

Удобный способ построения:

1. Начертим произвольный треугольник (на рисунке ниже он показан тонкими серыми линиями).
2. "Срежем" каждый из трех углов треугольника отрезком, параллельным противолежащей стороне.
3. Фигура, которая останется в центре после "срезания" углов, будет искомым шестиугольником.

На рисунке ниже показан шестиугольник $ABCDEF$, построенный этим методом. У него есть три пары параллельных сторон:

• $AB \parallel ED$
• $BC \parallel FE$
• $CD \parallel AF$

Каждая сторона этого шестиугольника параллельна стороне, расположенной напротив нее.

Ответ: Представлен рисунок и описание построения шестиугольника, у которого каждая сторона параллельна какой-либо другой стороне.

1414. Начертите шестиугольник, две стороны которого лежат на одной прямой, а каждая из четырёх остальных сторон параллельна какой-либо другой стороне.

Для построения шестиугольника, удовлетворяющего заданным условиям, необходимо выполнить ряд шагов. Сначала проанализируем условия задачи:

• Требуется начертить шестиугольник, то есть многоугольник с шестью вершинами и шестью сторонами. Обозначим его вершины последовательно A, B, C, D, E, F.
• Две его стороны должны лежать на одной прямой. Это возможно, если эти стороны не являются смежными, например, стороны AB и DE. В этом случае вершины A, B, D и E будут лежать на одной прямой (быть коллинеарными).
• Каждая из четырёх остальных сторон (в нашем случае это BC, CD, EF и FA) должна быть параллельна какой-либо другой стороне из этой же группы. Это означает, что эти четыре стороны должны образовывать две пары параллельных сторон. Например, сторона BC должна быть параллельна EF, а сторона CD — параллельна FA.

Основываясь на этом анализе, можно предложить следующий алгоритм построения искомого шестиугольника:

1. Начертите прямую линию, обозначим её $l$.
2. Выберите на этой прямой четыре различные точки, которые будут служить вершинами шестиугольника. Расположите и назовите их, например, A, B, D, E. Таким образом, отрезки AB и DE станут двумя сторонами шестиугольника, лежащими на одной прямой.
3. Выберите произвольную точку C, не лежащую на прямой $l$. Соедините точку B с C и точку C с D. Вы получите стороны BC и CD.
4. Чтобы найти последнюю, шестую, вершину F, необходимо построить две прямые:
   • Через точку E проведите прямую, параллельную стороне BC.
   • Через точку A проведите прямую, параллельную стороне CD.
5. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой вершиной F.
6. Соедините точки E с F и F с A, чтобы получить стороны EF и FA. По построению, сторона EF параллельна BC, а сторона FA параллельна CD.

Полученный многоугольник ABCDEF является искомым шестиугольником. Он имеет шесть сторон, две из которых (AB и DE) лежат на одной прямой, а остальные четыре (BC, CD, EF, FA) образуют две пары параллельных сторон (BC || EF и CD || FA).

Пример такого шестиугольника показан на чертеже ниже. Это невыпуклый (вогнутый) шестиугольник, симметричный относительно вертикальной оси, проходящей через точки C и F.

Ответ: Чертеж шестиугольника, удовлетворяющего условиям, и описание метода его построения представлены выше.

1415. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые на плоскости? Изобразите все случаи.

Три прямые на плоскости могут иметь 0, 1, 2 или 3 точки пересечения. Рассмотрим все возможные случаи, предполагая, что прямые попарно различны (не совпадают).

0 точек пересечения

Это возможно, если все три прямые параллельны друг другу. В этом случае у них нет общих точек.

Ответ: 0.

1 точка пересечения

Это возможно, если все три прямые пересекаются в одной общей точке.

Ответ: 1.

2 точки пересечения

Это возможно, если две прямые параллельны между собой, а третья прямая пересекает их. Тогда образуется две точки пересечения.

Ответ: 2.

3 точки пересечения

Это возможно, если прямые попарно пересекаются в трёх различных точках. Такой случай называют общим положением прямых, и точки пересечения образуют вершины треугольника.

Ответ: 3.

1416. Составили одинаковые большие и одинаковые маленькие букеты роз.

В двух маленьких и пяти больших букетах было 55 роз, а в шести маленьких и пяти больших – 75 роз. Сколько роз было в каждом букете?

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы обозначить количество роз в каждом виде букетов.

Пусть $m$ — это количество роз в одном маленьком букете.

Пусть $b$ — это количество роз в одном большом букете.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Из условия, что в двух маленьких и пяти больших букетах было 55 роз, получаем первое уравнение:

$2m + 5b = 55$

2. Из условия, что в шести маленьких и пяти больших букетах было 75 роз, получаем второе уравнение:

$6m + 5b = 75$

Теперь у нас есть система уравнений:

$ \begin{cases} 2m + 5b = 55 \\ 6m + 5b = 75 \end{cases} $

Самый простой способ решить эту систему — вычесть одно уравнение из другого, так как количество больших букетов (и, соответственно, слагаемое $5b$) в обоих случаях одинаково.

Вычтем первое уравнение из второго:

$(6m + 5b) - (2m + 5b) = 75 - 55$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6m + 5b - 2m - 5b = 20$

$4m = 20$

Теперь найдем значение $m$:

$m = \frac{20}{4}$

$m = 5$

Таким образом, в одном маленьком букете содержится 5 роз.

Теперь, зная количество роз в маленьком букете, мы можем найти количество роз в большом букете, подставив значение $m = 5$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$2m + 5b = 55$

$2(5) + 5b = 55$

$10 + 5b = 55$

Перенесем 10 в правую часть уравнения:

$5b = 55 - 10$

$5b = 45$

Теперь найдем значение $b$:

$b = \frac{45}{5}$

$b = 9$

Таким образом, в одном большом букете содержится 9 роз.

Проверим наше решение, подставив найденные значения $m=5$ и $b=9$ во второе уравнение:

$6(5) + 5(9) = 30 + 45 = 75$

Результат $75$ совпадает с условием задачи, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в маленьком букете было 5 роз, а в большом букете — 9 роз.

1417. При обработке детали её масса уменьшилась с 240 кг до 204 кг. На сколько процентов уменьшилась масса детали?

Чтобы определить, на сколько процентов уменьшилась масса детали, необходимо выполнить два действия: найти абсолютное уменьшение массы и затем выразить его в процентах от первоначальной массы.

1. Найдём абсолютное уменьшение массы.
Первоначальная масса: $240$ кг.
Масса после обработки: $204$ кг.
Разница в массе составляет:
$240 \text{ кг} - 204 \text{ кг} = 36 \text{ кг}$.

2. Теперь вычислим, какую долю от первоначальной массы составляет это уменьшение, и выразим её в процентах. Первоначальная масса ($240$ кг) принимается за $100\%$.
Процентное уменьшение = $(\frac{\text{абсолютное уменьшение}}{\text{первоначальная масса}}) \times 100\%$.
Подставим наши значения в формулу:
$(\frac{36}{240}) \times 100\%$.

Сократим дробь $\frac{36}{240}$:
$\frac{36}{240} = \frac{3 \times 12}{20 \times 12} = \frac{3}{20}$.
Теперь умножим полученную дробь на $100\%$:
$\frac{3}{20} \times 100\% = 3 \times (\frac{100}{20})\% = 3 \times 5\% = 15\%$.

Таким образом, масса детали уменьшилась на 15%.
Ответ: 15%.

1418. Влажность травы составляет 80%, а сена – 20%. Сколько килограммов сена получат из 4 т травы?

Для решения этой задачи необходимо понять, что в процессе высыхания травы и превращения её в сено уходит только вода, а масса сухого вещества остаётся неизменной.

1. Найдём массу сухого вещества в траве.
Сначала переведём массу травы в килограммы. Так как 1 тонна = 1000 кг, то:
$4 \text{ т} = 4 \times 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$.
Влажность травы составляет $80\%$, значит, процентное содержание сухого (не водянистого) вещества в траве равно:
$100\% - 80\% = 20\%$.
Теперь вычислим массу сухого вещества в 4000 кг травы:
$4000 \text{ кг} \times \frac{20}{100} = 4000 \times 0.2 = 800 \text{ кг}$.

2. Найдём массу сена.
Влажность сена составляет $20\%$, следовательно, процентное содержание сухого вещества в сене равно:
$100\% - 20\% = 80\%$.
Масса сухого вещества, как мы установили, не меняется и составляет 800 кг. Эти 800 кг сухого вещества теперь составляют $80\%$ от общей массы сена. Пусть $x$ — это искомая масса сена. Составим пропорцию:
$800 \text{ кг} — 80\%$
$x \text{ кг} — 100\%$
Из пропорции находим $x$:
$x = \frac{800 \times 100}{80} = \frac{80000}{80} = 1000 \text{ кг}$.

Следовательно, из 4 тонн травы получится 1000 килограммов сена.

Ответ: 1000 кг.

1419. Найдите значение выражения:

$(8,25 \cdot \frac{10}{11} - 10) \cdot (11\frac{2}{3} : 2\frac{2}{9} - 6,15) + 12,7 : \left(-2\frac{1}{2}\right)$

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.

Разложим решение на этапы:

1. Вычислим значение в первой скобке $(8,25 \cdot \frac{10}{11} - 10)$.

   Сначала умножение. Преобразуем десятичную дробь 8,25 в обыкновенную:

   $8,25 = 8\frac{25}{100} = 8\frac{1}{4} = \frac{33}{4}$

   Теперь выполним умножение:

   $\frac{33}{4} \cdot \frac{10}{11} = \frac{33 \cdot 10}{4 \cdot 11} = \frac{3 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 11} = \frac{3 \cdot 10}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7,5$

   Теперь вычитание:

   $7,5 - 10 = -2,5$

2. Вычислим значение во второй скобке $(11\frac{2}{3} : 2\frac{2}{9} - 6,15)$.

   Сначала деление. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

   $11\frac{2}{3} = \frac{11 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{35}{3}$

   $2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{20}{9}$

   Выполним деление:

   $\frac{35}{3} : \frac{20}{9} = \frac{35}{3} \cdot \frac{9}{20} = \frac{35 \cdot 9}{3 \cdot 20} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 3}{4} = \frac{21}{4} = 5,25$

   Теперь вычитание:

   $5,25 - 6,15 = -0,9$

3. Теперь, когда у нас есть значения выражений в скобках, выполним умножение между ними:

   $(-2,5) \cdot (-0,9) = 2,25$

4. Вычислим оставшуюся часть выражения: $12,7 : (-2\frac{1}{2})$.

   Преобразуем смешанное число в десятичную дробь:

   $-2\frac{1}{2} = -2,5$

   Выполним деление:

   $12,7 : (-2,5) = - (127 : 25) = -5,08$

5. Наконец, сложим результаты шагов 3 и 4:

   $2,25 + (-5,08) = 2,25 - 5,08 = -2,83$

Ответ: $-2,83$

1420. Отметьте на координатной прямой точку A (-3). Найдите на этой прямой точки, удалённые от точки A на пять единичных отрезков, и укажите их координаты.

По условию, на координатной прямой отмечена точка $A(-3)$. Чтобы найти точки, удаленные от точки $A$ на 5 единичных отрезков, необходимо рассмотреть два направления: вправо (положительное направление) и влево (отрицательное направление).

1. Найдем координату точки, которая находится на 5 единичных отрезков правее точки $A$. Для этого к координате точки $A$ прибавим 5:
$-3 + 5 = 2$

2. Найдем координату точки, которая находится на 5 единичных отрезков левее точки $A$. Для этого из координаты точки $A$ вычтем 5:
$-3 - 5 = -8$

Таким образом, на координатной прямой есть две точки, удаленные от точки $A(-3)$ на 5 единичных отрезков. Это точки с координатами 2 и -8.

Ответ: 2 и -8.