Номер 5, страница 292 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 41. Параллельные прямые. Глава 4. Рациональные числа - номер 5, страница 292.

Условие.

5. Можно ли считать два отрезка параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек?

Решение.

Решение 2.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению параллельных отрезков. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. В свою очередь, две прямые в плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Условие, что два отрезка лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, не является достаточным для того, чтобы считать их параллельными. Возможна ситуация, когда отрезки лежат на пересекающихся прямых, но сами при этом не имеют общих точек.

Рассмотрим такой случай. Пусть прямая $a$ и прямая $b$ лежат в одной плоскости и пересекаются в точке $M$. На прямой $a$ выберем отрезок $AB$, а на прямой $b$ — отрезок $CD$. Можно расположить эти отрезки так, что они не будут иметь общих точек (например, если точка $M$ не принадлежит ни одному из отрезков). В этом случае отрезки $AB$ и $CD$ удовлетворяют обоим условиям из вопроса: они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Однако они не являются параллельными, так как содержащие их прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пример:
В декартовой системе координат рассмотрим отрезок $AB$ с концами в точках $A(1, 0)$ и $B(2, 0)$, который лежит на оси абсцисс ($Ox$). И рассмотрим отрезок $CD$ с концами в точках $C(0, 1)$ и $D(0, 2)$, который лежит на оси ординат ($Oy$). Оба отрезка лежат в плоскости $Oxy$ и не имеют общих точек. Но прямые, на которых они лежат (оси $Ox$ и $Oy$), пересекаются в начале координат, а значит, не параллельны. Следовательно, и сами отрезки $AB$ и $CD$ не являются параллельными.

Ответ: Нет, не всегда. Два отрезка, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, могут лежать на пересекающихся прямых, и в этом случае они не будут параллельными.