Страница 303 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1457. Свежие яблоки содержат 75 % воды, а сушёные – 12 %. Сколько килограммов сушёных яблок получится из 264 кг свежих?

Основной принцип при решении подобных задач заключается в том, что в процессе сушки из продукта испаряется только вода, а масса так называемого "сухого вещества" (клетчатки, сахаров и т.д.) остается неизменной.

1. Сначала определим массу сухого вещества в 264 кг свежих яблок. Если свежие яблоки содержат 75% воды, то доля сухого вещества в них составляет: $100\% - 75\% = 25\%$ Теперь вычислим массу этого сухого вещества: $m_{сух} = 264 \text{ кг} \times \frac{25}{100} = 264 \times 0.25 = 66 \text{ кг}$

2. Эта масса сухого вещества (66 кг) полностью сохраняется и в сушёных яблоках. В сушёных яблоках, согласно условию, содержится 12% воды. Следовательно, доля сухого вещества в них составляет: $100\% - 12\% = 88\%$

3. Теперь мы знаем, что 66 кг сухого вещества составляют 88% от общей массы сушёных яблок. Пусть $x$ — это искомая масса сушёных яблок. Тогда мы можем составить уравнение: $x \times 0.88 = 66$

4. Решим это уравнение, чтобы найти $x$: $x = \frac{66}{0.88} = \frac{6600}{88}$ Для удобства вычислений можно сократить дробь. Разделим числитель и знаменатель на 22: $x = \frac{6600 \div 22}{88 \div 22} = \frac{300}{4} = 75 \text{ кг}$

Таким образом, из 264 кг свежих яблок получится 75 кг сушёных.

Ответ: 75 кг.

1458. Белочка решила проверить свой запас орехов. Когда она считала их десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков, а когда начала считать дюжинами, то осталось восемь орехов. Сколько орехов было у белочки, если известно, что их больше 300, но меньше 350?

Пусть $N$ — искомое количество орехов. Согласно условиям задачи, мы можем составить несколько математических выражений.

1. Когда белочка считала орехи десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков. Это означает, что если к общему числу орехов прибавить 2, то оно будет делиться на 10. Другими словами, остаток от деления $N$ на 10 равен $10 - 2 = 8$. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $N \equiv 8 \pmod{10}$.

2. Когда она начала считать дюжинами (в дюжине 12 штук), то осталось восемь орехов. Это означает, что остаток от деления $N$ на 12 равен 8. Запишем это в виде сравнения: $N \equiv 8 \pmod{12}$.

3. Известно, что количество орехов больше 300, но меньше 350. Это можно записать в виде двойного неравенства: $300 < N < 350$.

Из первых двух условий ($N \equiv 8 \pmod{10}$ и $N \equiv 8 \pmod{12}$) следует, что число $(N-8)$ делится без остатка и на 10, и на 12. Следовательно, $(N-8)$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Найдем НОК для чисел 10 и 12.
Для этого разложим их на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(10, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Таким образом, $(N-8)$ является кратным 60, что можно записать в виде формулы, где $k$ — целое положительное число:
$N - 8 = 60k$
Отсюда выразим $N$:
$N = 60k + 8$

Теперь используем третье условие, подставив в неравенство полученное выражение для $N$:

$300 < 60k + 8 < 350$

Чтобы найти $k$, решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 8 из всех его частей:

$300 - 8 < 60k < 350 - 8$

$292 < 60k < 342$

Теперь разделим все части на 60:

$\frac{292}{60} < k < \frac{342}{60}$

$4.866... < k < 5.7$

Единственное целое число $k$, которое находится в этом интервале, — это 5.

Подставим найденное значение $k=5$ в формулу для $N$:

$N = 60 \cdot 5 + 8 = 300 + 8 = 308$

Проверим результат: число 308 больше 300 и меньше 350. При делении на 10 дает в остатке 8 (то есть не хватает 2 до 310). При делении на 12 дает в остатке 8 ($308 = 12 \cdot 25 + 8$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 308 орехов.

1459. В одной кучке лежит 171 камешек, а в другой – 172 камешка. Игроку за один ход разрешается взять любое количество камешков, но только из одной кучки. Проиграет тот, кому будет нечего брать. Кто из двух игроков выиграет при правильной стратегии – тот, кто начинает, или второй игрок?

Данная задача является классическим примером комбинаторной игры, известной как игра Ним. Выигрышная стратегия в таких играх определяется с помощью так называемой ним-суммы, которая вычисляется через операцию побитового исключающего "ИЛИ" (XOR, обозначается как $\oplus$) для количеств предметов в каждой кучке.

Позиция в игре считается проигрышной, если её ним-сумма равна нулю. Если ним-сумма не равна нулю, позиция является выигрышной, так как из неё всегда можно сделать ход, приводящий к позиции с нулевой ним-суммой.

В начальный момент в кучках находится 171 и 172 камешка. Вычислим ним-сумму для этой начальной позиции: $S = 171 \oplus 172$.

Для этого представим числа в двоичной системе счисления:

• $171_{10} = 128 + 43 = 128 + 32 + 11 = 128 + 32 + 8 + 3 = 128 + 32 + 8 + 2 + 1 = 2^7 + 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0 = 10101011_2$
• $172_{10} = 171 + 1 = 10101100_2$

Теперь выполним операцию XOR над двоичными представлениями этих чисел:

 10101011 (171)⊕ 10101100 (172)----------------- 00000111

Результат операции, $00000111_2$, в десятичной системе равен $2^2 + 2^1 + 2^0 = 4 + 2 + 1 = 7$.

Таким образом, ним-сумма начальной позиции равна $S = 7$. Поскольку она не равна нулю, это выигрышная позиция для игрока, который делает первый ход.

Выигрышная стратегия для первого игрока состоит в том, чтобы сделать такой ход, после которого ним-сумма станет равна нулю. В случае двух кучек это эквивалентно тому, чтобы сделать количество камней в кучках одинаковым.

Первый игрок может взять 1 камешек из второй кучки (где их 172). После этого хода в кучках станет 171 и 171 камешек. Ним-сумма новой позиции будет $171 \oplus 171 = 0$.

Теперь ход второго игрока. Какое бы количество камней он ни взял из одной кучки, он нарушит равенство. Например, если он возьмет $k$ камней из первой кучки, в ней останется $171-k$ камней. В ответ первый игрок возьмет столько же ($k$) камней из второй кучки, снова сделав количество камней в них равным ($171-k$ в обеих).

Придерживаясь этой "зеркальной" стратегии, первый игрок всегда будет оставлять второму позицию с равным количеством камней в кучках, то есть с нулевой ним-суммой. В конце концов, второй игрок заберет все камни из одной из кучек, и первый игрок в ответ заберет все камни из другой. В результате второй игрок окажется в ситуации, когда обе кучки пусты (0, 0), и ему будет нечего брать, что по условиям задачи означает проигрыш.

Ответ: При правильной стратегии выиграет тот, кто начинает, то есть первый игрок.