Номер 1458, страница 303 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1458, страница 303.

Условие.

1458. Белочка решила проверить свой запас орехов. Когда она считала их десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков, а когда начала считать дюжинами, то осталось восемь орехов. Сколько орехов было у белочки, если известно, что их больше 300, но меньше 350?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — искомое количество орехов. Согласно условиям задачи, мы можем составить несколько математических выражений.

1. Когда белочка считала орехи десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков. Это означает, что если к общему числу орехов прибавить 2, то оно будет делиться на 10. Другими словами, остаток от деления $N$ на 10 равен $10 - 2 = 8$. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $N \equiv 8 \pmod{10}$.

2. Когда она начала считать дюжинами (в дюжине 12 штук), то осталось восемь орехов. Это означает, что остаток от деления $N$ на 12 равен 8. Запишем это в виде сравнения: $N \equiv 8 \pmod{12}$.

3. Известно, что количество орехов больше 300, но меньше 350. Это можно записать в виде двойного неравенства: $300 < N < 350$.

Из первых двух условий ($N \equiv 8 \pmod{10}$ и $N \equiv 8 \pmod{12}$) следует, что число $(N-8)$ делится без остатка и на 10, и на 12. Следовательно, $(N-8)$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

Найдем НОК для чисел 10 и 12.
Для этого разложим их на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(10, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Таким образом, $(N-8)$ является кратным 60, что можно записать в виде формулы, где $k$ — целое положительное число:
$N - 8 = 60k$
Отсюда выразим $N$:
$N = 60k + 8$

Теперь используем третье условие, подставив в неравенство полученное выражение для $N$:

$300 < 60k + 8 < 350$

Чтобы найти $k$, решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 8 из всех его частей:

$300 - 8 < 60k < 350 - 8$

$292 < 60k < 342$

Теперь разделим все части на 60:

$\frac{292}{60} < k < \frac{342}{60}$

$4.866... < k < 5.7$

Единственное целое число $k$, которое находится в этом интервале, — это 5.

Подставим найденное значение $k=5$ в формулу для $N$:

$N = 60 \cdot 5 + 8 = 300 + 8 = 308$

Проверим результат: число 308 больше 300 и меньше 350. При делении на 10 дает в остатке 8 (то есть не хватает 2 до 310). При делении на 12 дает в остатке 8 ($308 = 12 \cdot 25 + 8$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 308 орехов.