Номер 1454, страница 302 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 42. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа - номер 1454, страница 302.

Условие.

1454. Изобразите на координатной плоскости все точки $(x, y)$ такие, что:

1) $y=0$, $x<3$;

2) $-4 < y < 4$, $x \ge 0$;

3) $|x| \le 1$, $y \ge 1$;

4) $|x| > 2$, $y < -2$.

Решение.

Решение 2.

1) $y=0, x<3$

Условие $y=0$ задает все точки, лежащие на оси абсцисс (оси $Ox$). Условие $x<3$ задает все точки, расположенные левее вертикальной прямой $x=3$. Поскольку неравенство строгое, точки на самой прямой $x=3$ в множество не входят.
Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Геометрически это луч на оси $Ox$, который начинается от "минус бесконечности" и доходит до точки $(3, 0)$. Сама точка $(3, 0)$ не включается в множество, поэтому на графике она изображается "выколотой" (пустым кружком).
Ответ: Луч, лежащий на оси абсцисс, с началом в точке $(3, 0)$, направленный влево (в сторону уменьшения $x$), не включая точку $(3, 0)$.

2) $-4 < y < 4, x \ge 0$

Неравенство $-4 < y < 4$ задает горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=-4$ и $y=4$. Так как неравенства строгие, сами прямые в искомое множество не входят и на графике изображаются пунктиром.
Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость, включая ее границу — ось ординат (прямую $x=0$).
Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это полубесконечная полоса, расположенная справа от оси $Oy$ (и на самой оси), ограниченная сверху и снизу.
Ответ: Полубесконечная полоса, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$), между прямыми $y=-4$ и $y=4$. Левая граница полосы (отрезок оси $Oy$ от точки $(0,-4)$ до $(0,4)$) входит в множество, а горизонтальные границы (лучи $y=4, x \ge 0$ и $y=-4, x \ge 0$) — не входят.

3) $|x| \le 1, y \ge 1$

Неравенство с модулем $|x| \le 1$ равносильно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$. Оно задает вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=-1$ и $x=1$. Так как неравенство нестрогое, граничные прямые $x=-1$ и $x=1$ включаются в множество.
Неравенство $y \ge 1$ задает полуплоскость, расположенную не ниже горизонтальной прямой $y=1$. Сама прямая $y=1$ также включается в множество.
Искомое множество точек — это пересечение вертикальной полосы и верхней полуплоскости. Это полубесконечная полоса, уходящая вверх.
Ответ: Полубесконечная вертикальная полоса, ограниченная слева прямой $x=-1$, справа прямой $x=1$ и снизу прямой $y=1$. Все границы ($x=-1$, $x=1$, $y=1$ для соответствующих $x$ и $y$) входят в искомое множество.

4) $|x| > 2, y < -2$

Неравенство с модулем $|x| > 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $x < -2$ или $x > 2$. Это множество представляет собой объединение двух открытых полуплоскостей: области левее прямой $x=-2$ и области правее прямой $x=2$. Граничные прямые в множество не входят.
Неравенство $y < -2$ задает открытую полуплоскость ниже прямой $y=-2$. Граничная прямая в множество не входит.
Искомое множество — это точки, которые удовлетворяют одновременно и условию на $x$, и условию на $y$. Это приводит к двум непересекающимся областям (двум "углам" или четвертям плоскости).
Ответ: Объединение двух открытых четвертей плоскости: первая задается системой неравенств $x > 2$ и $y < -2$, а вторая — системой $x < -2$ и $y < -2$. Границы этих областей (лучи $x=2, y<-2$; $y=-2, x>2$ и т.д.) в искомое множество не входят.