Номер 3, страница 307 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 43. Графики. Глава 4. Рациональные числа - номер 3, страница 307.

Условие.

3. Какую цифру надо поставить вместо звёздочки, чтобы число $1845*$ делилось нацело на 9, но не делилось нацело на 6?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо применить признаки делимости чисел на 9 и на 6.

1. Условие делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.Пусть неизвестная цифра, стоящая на месте звёздочки, равна $x$. Тогда мы имеем число $1845x$.Найдём сумму известных цифр этого числа:$1 + 8 + 4 + 5 = 18$.Сумма всех цифр числа равна $18 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.Поскольку $x$ – это цифра, то $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.Рассмотрим возможные значения $x$:

• Если $x=0$, то сумма цифр равна $18 + 0 = 18$. Число 18 делится на 9. Этот вариант подходит.
• Если $x=9$, то сумма цифр равна $18 + 9 = 27$. Число 27 делится на 9. Этот вариант тоже подходит.

При других значениях $x$ от 1 до 8 сумма $18+x$ не будет делиться на 9.Таким образом, чтобы число $1845*$ делилось на 9, вместо звёздочки можно поставить либо 0, либо 9.

2. Условие "не делится на 6"

Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3.Чтобы число *не* делилось на 6, оно должно *не* делиться хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3).Из первого пункта мы знаем, что искомое число должно делиться на 9. Если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$.Следовательно, условие делимости на 3 всегда будет выполняться для найденных нами вариантов.Значит, чтобы число не делилось на 6, оно не должно делиться на 2.Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8). Соответственно, чтобы число не делилось на 2, его последняя цифра ($x$) должна быть нечётной.

3. Вывод

Сопоставим выводы из обоих пунктов:

• Из условия делимости на 9 мы получили два возможных варианта для последней цифры: 0 и 9.
• Из условия, что число не делится на 6, мы получили, что последняя цифра должна быть нечётной.

Теперь выберем подходящий вариант:

• Цифра 0 – чётная. Если мы её подставим, получится число 18450. Оно делится на 9 и на 2, значит, делится на 6. Этот вариант не подходит.
• Цифра 9 – нечётная. Если мы её подставим, получится число 18459. Оно делится на 9, но не делится на 2, так как оканчивается на нечётную цифру. Следовательно, оно не делится на 6. Этот вариант полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 9