Страница 312 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно значение выражения $0.5ab$, если $a = -12$, $b = -15$?

А) 90

Б) -90

В) 180

Г) -180

Для того чтобы найти значение выражения $0,5ab$, необходимо подставить в него заданные значения переменных $a = -12$ и $b = -15$.

Подставляем значения в выражение:
$0,5 \cdot a \cdot b = 0,5 \cdot (-12) \cdot (-15)$

Выполним вычисления по порядку. Сначала умножим $0,5$ на $-12$:
$0,5 \cdot (-12) = -6$

Теперь полученный результат $-6$ умножим на $-15$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:
$(-6) \cdot (-15) = 90$

Таким образом, значение выражения $0,5ab$ при $a = -12$ и $b = -15$ равно 90.
Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту А).

Ответ: 90.

2. Чему равно значение выражения $(4.3 - 6.7) \text{ : } (-0.6)$?

А) $-4$

Б) $4$

В) $-0.4$

Г) $0.4$

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.

1. Вычислим значение выражения в скобках (вычитание):
$4,3 - 6,7 = -2,4$

2. Теперь выполним деление результата, полученного в первом действии, на $-0,6$:
$(-2,4) : (-0,6)$

При делении одного отрицательного числа на другое в результате получается положительное число. Поэтому мы можем разделить их модули (абсолютные значения):
$2,4 : 0,6$

Для удобства деления на десятичную дробь, можно умножить и делимое ($2,4$), и делитель ($0,6$) на 10, чтобы работать с целыми числами. Значение от этого не изменится:
$(2,4 \cdot 10) : (0,6 \cdot 10) = 24 : 6 = 4$

Следовательно, значение выражения $(4,3 - 6,7) : (-0,6)$ равно 4. Этот результат соответствует варианту ответа Б.
Ответ: 4

3. Упростите выражение $-5(y-4) + 2(y+5)$.

А) $-3y + 30$

Б) $-3y - 10$

В) $-7y + 30$

Г) $-7y - 10$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $-5(y - 4) + 2(y + 5)$.

1. Раскрываем скобки.

Используем распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab + ac$.

Раскрываем первую скобку, умножая $-5$ на каждый член внутри скобки $(y-4)$:

$-5 \cdot y = -5y$

$-5 \cdot (-4) = 20$

Таким образом, $-5(y - 4) = -5y + 20$.

Раскрываем вторую скобку, умножая $2$ на каждый член внутри скобки $(y+5)$:

$2 \cdot y = 2y$

$2 \cdot 5 = 10$

Таким образом, $2(y + 5) = 2y + 10$.

2. Подставляем полученные результаты в исходное выражение.

Выражение принимает вид:

$-5y + 20 + 2y + 10$

3. Приводим подобные слагаемые.

Группируем и складываем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые (константы) отдельно.

Слагаемые с $y$: $-5y + 2y = (-5 + 2)y = -3y$.

Числовые слагаемые: $20 + 10 = 30$.

4. Записываем окончательный результат.

Объединяем полученные результаты:

$-3y + 30$

Сравнивая полученный ответ с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) $-3y + 30$.

4. Чему равно значение выражения $(-4.3 - 1.2) : (-1\frac{7}{15})$?

А) $-7.5$

Б) $7.5$

В) $-3\frac{3}{4}$

Г) $3\frac{3}{4}$

Чтобы найти значение выражения $(-4,3 - 1,2) : (-1\frac{7}{15})$, необходимо выполнить действия в определенном порядке.

1. Выполним действие в первых скобках:

Найдем сумму двух отрицательных чисел:

$-4,3 - 1,2 = -(4,3 + 1,2) = -5,5$

2. Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$-1\frac{7}{15} = -(\frac{1 \cdot 15 + 7}{15}) = -\frac{22}{15}$

3. Выполним деление:

Теперь нам нужно разделить результат первого действия на результат второго:

$(-5,5) : (-\frac{22}{15})$

При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $-5,5$ в виде обыкновенной:

$-5,5 = -5\frac{5}{10} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2}$

Теперь выполним деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$(-\frac{11}{2}) : (-\frac{22}{15}) = \frac{11}{2} \cdot \frac{15}{22}$

Сократим числитель первой дроби (11) и знаменатель второй (22) на 11:

$\frac{11}{2} \cdot \frac{15}{22} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} = \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 2} = \frac{15}{4}$

4. Преобразуем результат в смешанное число:

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{15}{4}$:

$\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Полученное значение соответствует варианту Г.

Ответ: $3\frac{3}{4}$

5. Из последовательности чисел $ -9, -8, -6, 4, 5, 6 $ выбрали два числа и нашли их произведение. Какое наименьшее значение может принимать это произведение?

А) $ -40 $

Б) $ -54 $

В) $ -72 $

Г) $ -36 $

Для нахождения наименьшего значения произведения двух чисел из предложенной последовательности $-9, -8, -6, 4, 5, 6$, необходимо рассмотреть разные варианты перемножения чисел.

Наименьшее значение будет отрицательным числом с наибольшим модулем. Чтобы получить отрицательное произведение, нужно перемножить одно положительное и одно отрицательное число.

Чтобы это отрицательное число было как можно меньше, необходимо, чтобы модули сомножителей были как можно больше.

Выберем из последовательности отрицательное число с наибольшим модулем. Это число $-9$.

Выберем из последовательности положительное число с наибольшим модулем (то есть, самое большое положительное число). Это число $6$.

Теперь найдем их произведение:

$(-9) \times 6 = -54$

Сравним с другими возможными произведениями, чтобы убедиться, что это наименьшее значение. Например, произведение двух отрицательных чисел будет положительным ($(-9) \times (-8) = 72$), а произведение других пар (отрицательного и положительного) даст большее значение (например, $(-8) \times 6 = -48$, а $-48 > -54$).

Таким образом, наименьшее возможное значение произведения равно $-54$.

Ответ: -54

6. Чему равен корень уравнения $17x - 7 = 20x + 8$?

А) $-\frac{1}{3}$ Б) $\frac{1}{3}$ В) $-5$ Г) $5$

Чтобы найти корень уравнения, нужно решить его относительно переменной $x$. Для этого мы соберем все члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а все числовые члены — в другой.
Исходное уравнение:
$17x - 7 = 20x + 8$
Перенесем $17x$ в правую часть уравнения (изменив знак на минус) и $8$ в левую часть (также изменив знак на минус):
$-7 - 8 = 20x - 17x$
Выполним вычисления в обеих частях уравнения:
$-15 = 3x$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $3$:
$x = \frac{-15}{3}$
$x = -5$
Таким образом, корень уравнения равен $-5$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это вариант В).
Проверка:
Подставим найденное значение $x = -5$ в исходное уравнение:
$17(-5) - 7 = 20(-5) + 8$
$-85 - 7 = -100 + 8$
$-92 = -92$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: -5

7. Значение какого из данных выражений будет наибольшим, если

a – отрицательное число?

А) $2 - a$

Б) $a - 2$

В) $2 : a$

Г) $a : 2$

По условию задачи, $a$ — отрицательное число, то есть $a < 0$. Чтобы найти выражение с наибольшим значением, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов.

А) $2 - a$

Поскольку $a$ является отрицательным числом ($a < 0$), то число $-a$ будет положительным ($-a > 0$). Выражение $2 - a$ можно представить как сумму положительного числа $2$ и положительного числа $-a$. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом, которое будет больше каждого из слагаемых. В данном случае, $2 - a > 2$.

Б) $a - 2$

В этом выражении из отрицательного числа $a$ вычитается положительное число $2$. Результатом будет отрицательное число, которое будет еще меньше, чем исходное число $a$. Например, если $a = -1$, то $a - 2 = -1 - 2 = -3$.

В) $2 : a$

Это выражение представляет собой частное от деления положительного числа $2$ на отрицательное число $a$. При делении чисел с разными знаками результат всегда будет отрицательным. Например, если $a = -1$, то $2 : a = 2 : (-1) = -2$.

Г) $a : 2$

Здесь отрицательное число $a$ делится на положительное число $2$. Как и в предыдущем случае, результат деления чисел с разными знаками будет отрицательным. Например, если $a = -1$, то $a : 2 = -1 : 2 = -0.5$.

Сравнивая результаты, мы видим, что только выражение А) $2 - a$ всегда дает положительное значение. Значения выражений в пунктах Б), В) и Г) всегда отрицательны. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, выражение $2 - a$ имеет наибольшее значение.

Ответ: А

8. В двух бочках было поровну воды. Когда из первой бочки взяли 54 л, а из второй – 6 л, то в первой бочке осталось в 4 раза меньше воды, чем во второй. Сколько воды было вначале в каждой бочке?

А) 10 л

Б) 74 л

В) 42 л

Г) 70 л

Пусть $x$ литров — это количество воды, которое было в каждой бочке изначально.

После того как из первой бочки взяли 54 литра, в ней осталось $(x - 54)$ литров воды.

После того как из второй бочки взяли 6 литров, в ней осталось $(x - 6)$ литров воды.

По условию задачи, в первой бочке осталось в 4 раза меньше воды, чем во второй. Это означает, что количество воды во второй бочке в 4 раза больше, чем в первой. На основании этого составим уравнение:

$4 \cdot (x - 54) = x - 6$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в левой части:

$4x - 216 = x - 6$

Теперь перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, не забывая менять знаки при переносе:

$4x - x = 216 - 6$

Упростим обе части уравнения:

$3x = 210$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{210}{3}$

$x = 70$

Таким образом, первоначально в каждой бочке было 70 литров воды.

Проверим полученный результат:
1. Количество воды в первой бочке после изменений: $70 - 54 = 16$ л.
2. Количество воды во второй бочке после изменений: $70 - 6 = 64$ л.
3. Сравним количество воды: $64 \div 16 = 4$. Действительно, в первой бочке осталось в 4 раза меньше воды, чем во второй.

Ответ: Г) 70 л

9. На рисунке 315 изображён квадрат ABCD.

Укажите неверное утверждение.

А) $AB \parallel CD$

Б) $AB \perp AD$

В) $AC \perp BD$

Г) $BC \parallel CD$

Рис. 315

Проанализируем каждое утверждение, основываясь на свойствах квадрата $ABCD$. Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$).

Стороны $AB$ и $CD$ являются противолежащими сторонами квадрата. По свойству квадрата (как и любого параллелограмма), его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, это утверждение верно.

Стороны $AB$ и $AD$ являются смежными сторонами квадрата, образующими вершину $A$. По определению квадрата, все его углы прямые. Угол $\angle A$ равен $90^\circ$, что означает перпендикулярность сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, это утверждение верно.

$AC$ и $BD$ — это диагонали квадрата. Одно из ключевых свойств квадрата заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, это утверждение верно.

Стороны $BC$ и $CD$ являются смежными сторонами квадрата, имеющими общую вершину $C$. Смежные стороны квадрата перпендикулярны (угол $\angle C = 90^\circ$), а не параллельны. Параллельные прямые по определению не имеют общих точек, в то время как $BC$ и $CD$ пересекаются в точке $C$. Следовательно, это утверждение неверно.

Таким образом, единственное неверное утверждение из предложенных — это Г).

Ответ: Г) $BC \parallel CD$

10. Какая из данных точек лежит на оси абсцисс?

А) $A (4; 3)$

Б) $B (4; 0)$

В) $C (0; 3)$

Г) $D (-4; -3)$

Ось абсцисс – это горизонтальная координатная ось, обозначаемая как $Ox$. Точка лежит на оси абсцисс в том и только в том случае, если ее вторая координата (ордината), обозначаемая как $y$, равна нулю. Таким образом, координаты любой точки на оси абсцисс имеют вид $(x; 0)$.

Рассмотрим каждую из предложенных точек:

А) Точка $A$ имеет координаты $(4; 3)$. Ее ордината $y = 3$. Поскольку $3 \neq 0$, точка $A$ не лежит на оси абсцисс.

Б) Точка $B$ имеет координаты $(4; 0)$. Ее ордината $y = 0$. Это условие означает, что точка $B$ лежит на оси абсцисс.

В) Точка $C$ имеет координаты $(0; 3)$. Ее ордината $y = 3$. Поскольку $3 \neq 0$, точка $C$ не лежит на оси абсцисс. (Эта точка лежит на оси ординат, так как ее абсцисса $x = 0$).

Г) Точка $D$ имеет координаты $(-4; -3)$. Ее ордината $y = -3$. Поскольку $-3 \neq 0$, точка $D$ не лежит на оси абсцисс.

Следовательно, из всех предложенных вариантов только точка $B(4; 0)$ лежит на оси абсцисс.

Ответ: Б