Страница 316 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1485. Миша подсчитал, что количество оценок «5» составляет $\frac{7}{18}$ всех оценок, полученных им за четверть, а количество оценок «4» – $\frac{7}{12}$ всех оценок. Сколько всего оценок получил Миша за четверть, если известно, что их было больше 50, но меньше 80?

Пусть $N$ — общее количество оценок, полученных Мишей за четверть.

Из условия задачи мы знаем, что:

• Количество оценок «5» составляет $\frac{7}{18}$ от общего числа, то есть $N \times \frac{7}{18}$.
• Количество оценок «4» составляет $\frac{7}{12}$ от общего числа, то есть $N \times \frac{7}{12}$.

Поскольку количество оценок может быть только целым числом, то и общее количество оценок $N$ должно быть таким, чтобы результаты умножения $N \times \frac{7}{18}$ и $N \times \frac{7}{12}$ также были целыми числами.

Чтобы дробь $\frac{7N}{18}$ была целым числом, $N$ должно делиться на 18 без остатка (поскольку 7 и 18 не имеют общих делителей, кроме 1).

Аналогично, чтобы дробь $\frac{7N}{12}$ была целым числом, $N$ должно делиться на 12 без остатка (поскольку 7 и 12 не имеют общих делителей, кроме 1).

Таким образом, общее количество оценок $N$ должно быть общим кратным чисел 18 и 12. Чтобы найти такие числа, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих двух чисел.

Разложим числа 18 и 12 на простые множители:
$18 = 2 \times 3^2$
$12 = 2^2 \times 3$

Для нахождения НОК возьмем каждую простую основу в наибольшей степени, в которой она встречается в разложениях:
НОК(18, 12) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Значит, общее количество оценок $N$ должно быть кратно 36.

В условии сказано, что общее количество оценок было больше 50, но меньше 80. То есть, $50 < N < 80$.

Найдем числа, кратные 36, которые попадают в этот интервал.
$36 \times 1 = 36$ (не подходит, так как $36 < 50$)
$36 \times 2 = 72$ (подходит, так как $50 < 72 < 80$)
$36 \times 3 = 108$ (не подходит, так как $108 > 80$)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 72.

Ответ: 72.

1486. Вася пытался разложить орехи на равные кучки, но каждый раз, когда он раскладывал их по 4, по 5, по 6, один орех оставался лишним. Сколько орехов было у Васи, если известно, что их было меньше, чем 100?

Пусть $N$ — искомое количество орехов.

Из условия задачи следует, что при делении числа $N$ на 4, 5 и 6 всегда получается остаток 1. Это означает, что если от общего количества орехов отнять один, то полученное число $(N - 1)$ будет делиться на 4, 5 и 6 без остатка.

Таким образом, число $(N - 1)$ является общим кратным для чисел 4, 5 и 6. Чтобы найти все возможные значения для $(N - 1)$, мы должны найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(4, 5, 6).
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Это означает, что число $(N - 1)$ должно быть кратно 60. Общий вид таких чисел: $60 \cdot k$, где $k$ — натуральное число (1, 2, 3, ...).
Следовательно, $N - 1 = 60k$, откуда $N = 60k + 1$.

По условию, количество орехов меньше 100, то есть $N < 100$.
Подставим найденное выражение для $N$ в это неравенство:
$60k + 1 < 100$

Будем подставлять натуральные значения $k$:
При $k = 1$: $N = 60 \cdot 1 + 1 = 61$. Это значение удовлетворяет условию $61 < 100$.
При $k = 2$: $N = 60 \cdot 2 + 1 = 121$. Это значение не удовлетворяет условию $121 < 100$.

Таким образом, единственным подходящим решением является 61.

Ответ: 61.

1487. Расположите числа:

1) $-\frac{4}{9}$, $-\frac{5}{6}$, $-\frac{3}{5}$, $-\frac{7}{10}$ в порядке убывания;

2) $-\frac{8}{15}$, $-\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{9}{20}$ в порядке возрастания.

1) Чтобы расположить числа $ \frac{4}{9}, \frac{5}{6}, \frac{3}{5}, \frac{7}{10} $ в порядке убывания, нужно их сравнить. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 9, 6, 5 и 10.

Разложим знаменатели на простые множители:
$9 = 3^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$5 = 5$
$10 = 2 \cdot 5$
НОК(9, 6, 5, 10) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 90:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{40}{90} $
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \frac{75}{90} $
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{54}{90} $
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{63}{90} $

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сравнить их числители. Расположим дроби в порядке убывания (от большей к меньшей):
$ \frac{75}{90} > \frac{63}{90} > \frac{54}{90} > \frac{40}{90} $

Это соответствует исходным числам в следующем порядке:
$ \frac{5}{6} > \frac{7}{10} > \frac{3}{5} > \frac{4}{9} $

Ответ: $ \frac{5}{6}, \frac{7}{10}, \frac{3}{5}, \frac{4}{9} $.

2) Чтобы расположить числа $ -\frac{8}{15}, -\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}, -\frac{9}{20} $ в порядке возрастания, нужно их сравнить.

Так как все числа отрицательные, то меньшим будет то число, модуль которого больше. Сначала сравним модули этих чисел, приведя их к общему знаменателю.

Найдем НОК знаменателей 15, 4, 3 и 20.
Разложим знаменатели на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$4 = 2^2$
$3 = 3$
$20 = 2^2 \cdot 5$
НОК(15, 4, 3, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Приведем модули дробей к знаменателю 60:
$ \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60} $
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{40}{60} $
$ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60} $

Расположим модули в порядке убывания (от большего к меньшему):
$ \frac{45}{60} > \frac{40}{60} > \frac{32}{60} > \frac{27}{60} $
что соответствует дробям $ \frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{8}{15} > \frac{9}{20} $.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, порядок будет обратным. Расположим их в порядке возрастания (от меньшего к большему):
$ -\frac{3}{4} < -\frac{2}{3} < -\frac{8}{15} < -\frac{9}{20} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}, -\frac{8}{15}, -\frac{9}{20} $.

1488. Масса глухаря равна 3 кг 200 г и составляет $2/5$ массы лебедя. Масса чайки составляет $3/32$ массы лебедя и $3/5$ массы утки. Вычислите массу каждой птицы.

Для решения задачи будем последовательно вычислять массу каждой птицы. Вначале переведем массу глухаря в граммы для удобства расчетов.

Масса глухаря = 3 кг 200 г = $3 \times 1000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 3200$ г.

Вычисление массы лебедя

По условию, масса глухаря (3200 г) составляет $\frac{2}{5}$ массы лебедя. Чтобы найти полную массу лебедя (целое), необходимо массу глухаря (часть) разделить на соответствующую ей дробь:

$3200 \div \frac{2}{5} = 3200 \times \frac{5}{2} = 1600 \times 5 = 8000$ г.

Переведем массу лебедя обратно в килограммы: $8000$ г = 8 кг.

Ответ: масса лебедя 8 кг.

Вычисление массы чайки

Масса чайки составляет $\frac{3}{32}$ от массы лебедя (8000 г). Чтобы найти массу чайки (часть от целого), нужно умножить массу лебедя на эту дробь:

$8000 \times \frac{3}{32} = \frac{8000 \times 3}{32} = 250 \times 3 = 750$ г.

Ответ: масса чайки 750 г.

Вычисление массы утки

Согласно условию, масса чайки (750 г) составляет $\frac{3}{5}$ массы утки. Чтобы найти полную массу утки (целое), нужно массу чайки (часть) разделить на соответствующую ей дробь:

$750 \div \frac{3}{5} = 750 \times \frac{5}{3} = 250 \times 5 = 1250$ г.

Переведем массу утки в килограммы и граммы: $1250$ г = 1 кг 250 г.

Ответ: масса утки 1 кг 250 г.

1489. У Козы-дерезы было 42 кг капусты. На завтрак она и семеро её козлят съели $\frac{2}{7}$ всей капусты, на обед — 40 % остатка, а на ужин — $\frac{5}{6}$ того, что осталось после завтрака и обеда. Сколько килограммов капусты осталось после этого у Козы-дерезы?

Для решения задачи необходимо пошагово вычислить, сколько капусты съедали на завтрак, обед и ужин, и какой остаток получался после каждого приема пищи.

1. Расчет после завтрака
Изначально было 42 кг капусты. На завтрак съели $\frac{2}{7}$ от этого количества.
Вычислим, сколько капусты съели на завтрак:
$42 \cdot \frac{2}{7} = \frac{42 \cdot 2}{7} = 6 \cdot 2 = 12$ кг.
Теперь найдем, сколько капусты осталось после завтрака:
$42 - 12 = 30$ кг.

2. Расчет после обеда
На обед съели 40% от остатка после завтрака, который составлял 30 кг. Переведем проценты в десятичную дробь: $40\% = 0,4$.
Вычислим, сколько капусты съели на обед:
$30 \cdot 0,4 = 12$ кг.
Теперь найдем, сколько капусты осталось после обеда:
$30 - 12 = 18$ кг.

3. Расчет после ужина
На ужин съели $\frac{5}{6}$ от того количества, что осталось после завтрака и обеда, то есть от 18 кг.
Вычислим, сколько капусты съели на ужин:
$18 \cdot \frac{5}{6} = \frac{18 \cdot 5}{6} = 3 \cdot 5 = 15$ кг.
Наконец, найдем, сколько капусты осталось у Козы-дерезы в итоге:
$18 - 15 = 3$ кг.

Ответ: у Козы-дерезы осталось 3 кг капусты.

1490.Иван-царевич на Сером Волке за три дня доехал из Тридевятого царства в Тридесятое государство. В первый день он проехал $\frac{7}{19}$ пути, во второй – 55 % оставшегося пути, а в третий – остальные 108 км. Какое расстояние преодолел Иван-царевич за три дня?

Для нахождения общего расстояния будем решать задачу по действиям, начиная с конца.

1. Известно, что в третий день Иван-царевич проехал 108 км. Это расстояние является остатком после того, как во второй день он проехал 55% пути, оставшегося после первого дня. Следовательно, 108 км составляют $100\% - 55\% = 45\%$ от расстояния, которое оставалось пройти после первого дня.

Найдем расстояние, которое оставалось проехать после первого дня (обозначим его $S_{ост1}$):

$S_{ост1} = 108 \div 0.45 = \frac{108}{0.45} = \frac{10800}{45} = 240$ км.

Итак, в начале второго дня пути оставалось 240 км.

2. В первый день Иван-царевич проехал $\frac{7}{19}$ всего пути. Это означает, что оставшиеся 240 км составляют $1 - \frac{7}{19} = \frac{19}{19} - \frac{7}{19} = \frac{12}{19}$ от всего пути.

Теперь найдем общее расстояние, которое преодолел Иван-царевич за три дня (обозначим его $S$):

$\frac{12}{19}S = 240$ км.

$S = 240 \div \frac{12}{19} = 240 \cdot \frac{19}{12} = \frac{240 \cdot 19}{12} = 20 \cdot 19 = 380$ км.

Ответ: 380 км.

1491. Первый мотоциклист проезжает расстояние между двумя городами за 5 ч, а второй – за время, в 1,4 раза большее, чем первый. Кто из мотоциклистов проедет большее расстояние – первый за 3 ч или второй за 4 ч?

Для решения задачи представим расстояние между городами как некую единицу, или обозначим его переменной $S$.

1. Сначала найдем, сколько времени тратит на весь путь второй мотоциклист. По условию, он едет в 1,4 раза дольше первого, который находится в пути 5 часов.

$t_2 = 5 \text{ ч} \times 1,4 = 7 \text{ ч}$

2. Теперь определим скорость каждого мотоциклиста как долю всего расстояния $S$, которую он проезжает за один час. Скорость находится по формуле $v = \frac{S}{t}$.

Скорость первого мотоциклиста: $v_1 = \frac{S}{5}$ (расстояния в час).

Скорость второго мотоциклиста: $v_2 = \frac{S}{7}$ (расстояния в час).

3. Вычислим, какую часть расстояния $S$ проедет каждый мотоциклист за указанное в вопросе время. Расстояние находится по формуле $S_{пройд} = v \times t_{движ}$.

Расстояние, которое проедет первый мотоциклист за 3 часа:

$S_1 = v_1 \times 3 = \frac{S}{5} \times 3 = \frac{3}{5}S$

Расстояние, которое проедет второй мотоциклист за 4 часа:

$S_2 = v_2 \times 4 = \frac{S}{7} \times 4 = \frac{4}{7}S$

4. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сравнить полученные расстояния $S_1$ и $S_2$, а для этого нужно сравнить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем их к общему знаменателю $35$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35}$

$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, следовательно, $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.

Это означает, что $S_1 > S_2$. Таким образом, первый мотоциклист за 3 часа проедет большее расстояние, чем второй за 4 часа.

Ответ: первый мотоциклист за 3 часа проедет большее расстояние.

1492. Посоветуйте Иванушке, как ему отрезать полметра от верёвки длиной $\frac{2}{3}$ м, поскольку линейку он забыл дома.

Для того чтобы отрезать полметра ($\frac{1}{2}$ м) от верёвки длиной $\frac{2}{3}$ м без линейки, Иванушке нужно сначала определить, какую часть от всей верёвки составляет необходимый ему кусок. Для этого нужно разделить желаемую длину на общую длину верёвки:

$\frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

Таким образом, Иванушке нужно отрезать кусок, который составляет $\frac{3}{4}$ от всей длины верёвки. Сделать это можно, выполнив следующие действия:

1. Сложить всю верёвку пополам, точно совместив её концы.

2. Не разворачивая верёвку, сложить её пополам ещё раз. Теперь верёвка будет сложена вчетверо.

3. Развернуть верёвку. На ней будут видны три сгиба, которые делят верёвку на четыре равные части.

4. Отмерить от любого конца верёвки три из этих четырёх частей и в этом месте отрезать.

Длина полученного куска будет равна $\frac{3}{4}$ от общей длины, то есть $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ метра, что и требовалось.

Ответ: Иванушке следует сложить верёвку пополам, а затем ещё раз пополам. Развернув верёвку, он увидит, что она разделена сгибами на четыре равные части. Ему нужно отрезать три из этих четырёх частей.

1493. Фермер заготовил сено, которого корове может хватить на 60 дней, а коню – на 40 дней. За сколько дней корова и конь вместе съедят этот запас сена?

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть запаса сена съедают корова и конь за один день по отдельности, а затем найти их совместную "скорость" поедания сена.

1. Определим, какую часть сена съедает корова за 1 день.
Если всего запаса сена корове хватает на 60 дней, то за один день она съедает $\frac{1}{60}$ часть всего сена.

2. Определим, какую часть сена съедает конь за 1 день.
Если всего запаса сена коню хватает на 40 дней, то за один день он съедает $\frac{1}{40}$ часть всего сена.

3. Найдем, какую часть сена они съедят вместе за 1 день.
Для этого сложим части, которые они съедают по отдельности:
$\frac{1}{60} + \frac{1}{40}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 60 и 40 — это 120.
$\frac{1 \cdot 2}{120} + \frac{1 \cdot 3}{120} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
Таким образом, вместе за один день корова и конь съедят $\frac{1}{24}$ часть всего запаса сена.

4. Определим, за сколько дней они съедят весь запас сена вместе.
Если за 1 день они съедают $\frac{1}{24}$ часть сена, то весь запас (который мы приняли за 1) они съедят за:
$1 \div \frac{1}{24} = 1 \cdot 24 = 24$ дня.

Ответ: 24 дня.

1494. В бассейн подведены три трубы. Через первую трубу бассейн наполняется водой за 1 ч, через вторую – за 2 ч, а через третью – за 3 ч. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть одновременно все три трубы?

Для решения этой задачи необходимо найти общую производительность (скорость наполнения) всех трех труб, работающих одновременно. За единицу примем весь объем бассейна.

1. Сначала определим производительность каждой трубы в отдельности. Производительность — это часть работы (в данном случае, часть бассейна), выполняемая за единицу времени (час).
- Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1 \text{ бассейн}}{1 \text{ час}} = 1$ бассейн/час.
- Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1 \text{ бассейн}}{2 \text{ часа}} = \frac{1}{2}$ бассейн/час.
- Производительность третьей трубы: $P_3 = \frac{1 \text{ бассейн}}{3 \text{ часа}} = \frac{1}{3}$ бассейн/час.

2. Теперь найдем общую производительность $P_{общая}$ при одновременной работе всех трех труб, сложив их производительности:
$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:
$P_{общая} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$ бассейна/час.

3. Зная общую производительность, можно найти время $T$, за которое наполнится весь бассейн (1). Время равно объему работы, деленному на производительность:
$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{11}{6}} = \frac{6}{11}$ часа.

4. В задаче требуется указать время в минутах. Переведем полученное время из часов в минуты, зная, что в 1 часе 60 минут:
$T_{мин} = \frac{6}{11} \times 60 = \frac{360}{11}$ минут.
Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$\frac{360}{11} = 32 \frac{8}{11}$ минут.

Ответ: $32 \frac{8}{11}$ минут.