Номер 1486, страница 316 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1486, страница 316.

Условие.

1486. Вася пытался разложить орехи на равные кучки, но каждый раз, когда он раскладывал их по 4, по 5, по 6, один орех оставался лишним. Сколько орехов было у Васи, если известно, что их было меньше, чем 100?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — искомое количество орехов.

Из условия задачи следует, что при делении числа $N$ на 4, 5 и 6 всегда получается остаток 1. Это означает, что если от общего количества орехов отнять один, то полученное число $(N - 1)$ будет делиться на 4, 5 и 6 без остатка.

Таким образом, число $(N - 1)$ является общим кратным для чисел 4, 5 и 6. Чтобы найти все возможные значения для $(N - 1)$, мы должны найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(4, 5, 6).
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
$НОК(4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Это означает, что число $(N - 1)$ должно быть кратно 60. Общий вид таких чисел: $60 \cdot k$, где $k$ — натуральное число (1, 2, 3, ...).
Следовательно, $N - 1 = 60k$, откуда $N = 60k + 1$.

По условию, количество орехов меньше 100, то есть $N < 100$.
Подставим найденное выражение для $N$ в это неравенство:
$60k + 1 < 100$

Будем подставлять натуральные значения $k$:
При $k = 1$: $N = 60 \cdot 1 + 1 = 61$. Это значение удовлетворяет условию $61 < 100$.
При $k = 2$: $N = 60 \cdot 2 + 1 = 121$. Это значение не удовлетворяет условию $121 < 100$.

Таким образом, единственным подходящим решением является 61.

Ответ: 61.