Номер 1484, страница 315 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1484, страница 315.

Условие.

1484. Длина комнаты равна 725 см, а ширина – 375 см. Пол этой комнаты решили выложить одинаковыми плитками, имеющими форму квадрата. Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать? Сколько потребуется таких плиток?

Решение.

Решение 2.

Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать?

Чтобы пол комнаты можно было выложить одинаковыми квадратными плитками без необходимости их резать, размер стороны плитки должен быть общим делителем и для длины, и для ширины комнаты. Чтобы найти наибольшую возможную длину стороны плитки, нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 725 и 375.

Для нахождения НОД разложим оба числа на простые множители:
$725 = 5 \cdot 145 = 5 \cdot 5 \cdot 29 = 5^2 \cdot 29$
$375 = 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 15 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 3 \cdot 5^3$

Наибольший общий делитель равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью, с которой они входят в оба разложения. Единственный общий простой множитель — это 5. Наименьшая степень для него — 2.
$НОД(725, 375) = 5^2 = 25$

Таким образом, наибольшая возможная длина стороны плитки составляет 25 см.
Ответ: 25 см.

Сколько потребуется таких плиток?

Теперь, зная, что сторона плитки равна 25 см, мы можем рассчитать, сколько плиток потребуется для покрытия всего пола.

Сначала определим, сколько плиток поместится по длине и ширине комнаты:
Количество плиток по длине: $N_{длина} = \frac{725}{25} = 29$
Количество плиток по ширине: $N_{ширина} = \frac{375}{25} = 15$

Общее количество плиток равно произведению количества плиток по длине и по ширине:
$N_{общ} = N_{длина} \cdot N_{ширина} = 29 \cdot 15 = 435$

Следовательно, для покрытия всего пола потребуется 435 плиток.
Ответ: 435 плиток.