Номер 1483, страница 315 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1483, страница 315.

Условие.

1483.1) Чему равен наименьший общий делитель любой пары натуральных чисел?

2) Наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $a$. Верно ли, что число $b$ кратно числу $a$?

3) Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $a$. Верно ли, что число $b$ кратно числу $a$?

Решение.

Решение 2.

1) По определению, натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов: $1, 2, 3, \ldots$. Общий делитель двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это число, на которое делятся без остатка и $a$, и $b$. Любое натуральное число делится на 1. Следовательно, для любой пары натуральных чисел $a$ и $b$ число 1 всегда будет их общим делителем. Поскольку 1 является наименьшим натуральным числом, оно и будет наименьшим общим делителем.
Ответ: 1.

2) Да, это утверждение верно. Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел $a$ и $b$ по определению является делителем каждого из этих чисел. Если дано, что $НОД(a, b) = a$, то это означает, что число $a$ является делителем числа $b$. А если число $a$ является делителем числа $b$, то это по определению означает, что число $b$ кратно числу $a$. Например, $НОД(4, 12) = 4$. При этом 12 кратно 4, так как $12 = 3 \cdot 4$.
Ответ: Да, верно.

3) Нет, это утверждение неверно. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$ по определению является числом, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Если дано, что $НОК(a, b) = a$, то это означает, что число $a$ кратно числу $b$. Это, в свою очередь, означает, что $b$ является делителем $a$. Вопрос же в том, кратно ли $b$ числу $a$ (то есть, является ли $a$ делителем $b$). Это будет правдой только в случае, если $a = b$. В общем случае это не так.
Рассмотрим контрпример: пусть $a = 10$ и $b = 5$.
$НОК(10, 5) = 10$, то есть $НОК(a, b) = a$. Условие выполняется.
Однако число $b=5$ не кратно числу $a=10$, так как 5 не делится на 10 нацело.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет, неверно.