Номер 1485, страница 316 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1485, страница 316.

Условие.

1485. Миша подсчитал, что количество оценок «5» составляет $\frac{7}{18}$ всех оценок, полученных им за четверть, а количество оценок «4» – $\frac{7}{12}$ всех оценок. Сколько всего оценок получил Миша за четверть, если известно, что их было больше 50, но меньше 80?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — общее количество оценок, полученных Мишей за четверть.

Из условия задачи мы знаем, что:

• Количество оценок «5» составляет $\frac{7}{18}$ от общего числа, то есть $N \times \frac{7}{18}$.
• Количество оценок «4» составляет $\frac{7}{12}$ от общего числа, то есть $N \times \frac{7}{12}$.

Поскольку количество оценок может быть только целым числом, то и общее количество оценок $N$ должно быть таким, чтобы результаты умножения $N \times \frac{7}{18}$ и $N \times \frac{7}{12}$ также были целыми числами.

Чтобы дробь $\frac{7N}{18}$ была целым числом, $N$ должно делиться на 18 без остатка (поскольку 7 и 18 не имеют общих делителей, кроме 1).

Аналогично, чтобы дробь $\frac{7N}{12}$ была целым числом, $N$ должно делиться на 12 без остатка (поскольку 7 и 12 не имеют общих делителей, кроме 1).

Таким образом, общее количество оценок $N$ должно быть общим кратным чисел 18 и 12. Чтобы найти такие числа, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих двух чисел.

Разложим числа 18 и 12 на простые множители:
$18 = 2 \times 3^2$
$12 = 2^2 \times 3$

Для нахождения НОК возьмем каждую простую основу в наибольшей степени, в которой она встречается в разложениях:
НОК(18, 12) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Значит, общее количество оценок $N$ должно быть кратно 36.

В условии сказано, что общее количество оценок было больше 50, но меньше 80. То есть, $50 < N < 80$.

Найдем числа, кратные 36, которые попадают в этот интервал.
$36 \times 1 = 36$ (не подходит, так как $36 < 50$)
$36 \times 2 = 72$ (подходит, так как $50 < 72 < 80$)
$36 \times 3 = 108$ (не подходит, так как $108 > 80$)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 72.

Ответ: 72.