Страница 315 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1479. Упростите выражение:

1) $0,3(1,2x - 0,5y) - 1,5(0,4x + y);$

2) $-1,8(3,5m - 5) - 6,5(0,8 - 0,4m);$

3) $1,2\left(\frac{5}{6} k + 0,4n\right) - 1,8\left(\frac{5}{9} k - 0,3n\right);$

4) $\left(\frac{1}{6} a + 6,5\right) - \left(2\frac{7}{9} a + 3\frac{1}{3}\right).$

1) Для упрощения выражения $0,3(1,2x - 0,5y) - 1,5(0,4x + y)$ сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: $0,3 \cdot 1,2x - 0,3 \cdot 0,5y - 1,5 \cdot 0,4x - 1,5 \cdot y = 0,36x - 0,15y - 0,6x - 1,5y$. Затем сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(0,36x - 0,6x) + (-0,15y - 1,5y) = -0,24x - 1,65y$.
Ответ: $-0,24x - 1,65y$

2) Упростим выражение $-1,8(3,5m - 5) - 6,5(0,8 - 0,4m)$, раскрыв скобки: $-1,8 \cdot 3,5m - 1,8 \cdot (-5) - 6,5 \cdot 0,8 - 6,5 \cdot (-0,4m) = -6,3m + 9 - 5,2 + 2,6m$. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-6,3m + 2,6m) + (9 - 5,2) = -3,7m + 3,8$.
Ответ: $-3,7m + 3,8$

3) Для упрощения выражения $1,2(\frac{5}{6}k + 0,4n) - 1,8(\frac{5}{9}k - 0,3n)$ раскроем скобки: $1,2 \cdot \frac{5}{6}k + 1,2 \cdot 0,4n - 1,8 \cdot \frac{5}{9}k - 1,8 \cdot (-0,3n)$. Выполним умножение. Для удобства можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,2 = \frac{12}{10}$, $1,8 = \frac{18}{10}$. $\frac{12}{10} \cdot \frac{5}{6}k + 0,48n - \frac{18}{10} \cdot \frac{5}{9}k + 0,54n = 1k + 0,48n - 1k + 0,54n$. Приведем подобные слагаемые: $(k - k) + (0,48n + 0,54n) = 0 + 1,02n = 1,02n$.
Ответ: $1,02n$

4) Упростим выражение $(\frac{1}{6}a + 6,5) - (2\frac{7}{9}a + 3\frac{1}{3})$, раскрыв скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой: $\frac{1}{6}a + 6,5 - 2\frac{7}{9}a - 3\frac{1}{3}$. Для удобства вычислений переведем все десятичные и смешанные дроби в неправильные: $6,5 = \frac{13}{2}$; $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Получим: $\frac{1}{6}a + \frac{13}{2} - \frac{25}{9}a - \frac{10}{3}$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{1}{6}a - \frac{25}{9}a) + (\frac{13}{2} - \frac{10}{3})$. Приведем дроби к общему знаменателю: $(\frac{3}{18}a - \frac{50}{18}a) + (\frac{39}{6} - \frac{20}{6}) = -\frac{47}{18}a + \frac{19}{6}$. Результат можно представить в виде смешанных чисел: $-2\frac{11}{18}a + 3\frac{1}{6}$.
Ответ: $-2\frac{11}{18}a + 3\frac{1}{6}$

1480. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $4(2-3m)-(6-m)-2(3m+4)$, если $m=-0,3$;

2) $-0,5(1-3n)+4(0,2n-0,1)-(0,1-0,7n)$, если $n=0,21$;

3) $-\frac{5}{8}(5,6m-1,6n)-7,2\left(-\frac{4}{9}m+1\frac{7}{18}n\right)$, если $m=10$, $n=\frac{5}{18}$;

4) $-\frac{3}{7}\left(2,1x+4\frac{2}{3}y\right)+2,2\left(-\frac{3}{11}x-\frac{5}{22}y\right)$, если $x=-1\frac{1}{3}$, $y=1,2$.

1) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$4(2 - 3m) - (6 - m) - 2(3m + 4) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 3m - 6 + m - 2 \cdot 3m - 2 \cdot 4 = 8 - 12m - 6 + m - 6m - 8$
Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ и свободные члены:
$(-12m + m - 6m) + (8 - 6 - 8) = -17m - 6$
Теперь подставим значение $m = -0,3$ в упрощенное выражение:
$-17m - 6 = -17 \cdot (-0,3) - 6 = 5,1 - 6 = -0,9$
Ответ: -0,9.

2) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$-0,5(1 - 3n) + 4(0,2n - 0,1) - (0,1 - 0,7n) = -0,5 \cdot 1 - 0,5 \cdot (-3n) + 4 \cdot 0,2n - 4 \cdot 0,1 - 0,1 + 0,7n = -0,5 + 1,5n + 0,8n - 0,4 - 0,1 + 0,7n$
Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ и свободные члены:
$(1,5n + 0,8n + 0,7n) + (-0,5 - 0,4 - 0,1) = 3n - 1$
Теперь подставим значение $n = 0,21$ в упрощенное выражение:
$3n - 1 = 3 \cdot 0,21 - 1 = 0,63 - 1 = -0,37$
Ответ: -0,37.

3) Сначала упростим выражение. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби: $5,6 = \frac{56}{10} = \frac{28}{5}$; $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$; $7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$; $1\frac{7}{18} = \frac{25}{18}$.
$-\frac{5}{8}(5,6m - 1,6n) - 7,2(-\frac{4}{9}m + 1\frac{7}{18}n) = -\frac{5}{8}(\frac{28}{5}m - \frac{8}{5}n) - \frac{36}{5}(-\frac{4}{9}m + \frac{25}{18}n)$
Раскроем скобки:
$-\frac{5}{8} \cdot \frac{28}{5}m + \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}n + \frac{36}{5} \cdot \frac{4}{9}m - \frac{36}{5} \cdot \frac{25}{18}n = -\frac{28}{8}m + n + \frac{16}{5}m - 10n$
Приведем к десятичным дробям и сгруппируем подобные слагаемые:
$-3,5m + n + 3,2m - 10n = (-3,5m + 3,2m) + (n - 10n) = -0,3m - 9n$
Теперь подставим значения $m = 10$ и $n = \frac{5}{18}$:
$-0,3m - 9n = -0,3 \cdot 10 - 9 \cdot \frac{5}{18} = -3 - \frac{9 \cdot 5}{18} = -3 - \frac{5}{2} = -3 - 2,5 = -5,5$
Ответ: -5,5.

4) Сначала упростим выражение, преобразовав десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби: $2,1 = \frac{21}{10}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$; $2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$.
$-\frac{3}{7}(2,1x + 4\frac{2}{3}y) + 2,2(-\frac{3}{11}x - \frac{5}{22}y) = -\frac{3}{7}(\frac{21}{10}x + \frac{14}{3}y) + \frac{11}{5}(-\frac{3}{11}x - \frac{5}{22}y)$
Раскроем скобки:
$-\frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 10}x - \frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3}y - \frac{11 \cdot 3}{5 \cdot 11}x - \frac{11 \cdot 5}{5 \cdot 22}y = -\frac{9}{10}x - 2y - \frac{3}{5}x - \frac{1}{2}y$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-\frac{9}{10}x - \frac{6}{10}x) + (-2y - \frac{1}{2}y) = -\frac{15}{10}x - \frac{5}{2}y = -1,5x - 2,5y$
Теперь подставим значения $x = -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$ и $y = 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$:
$-1,5x - 2,5y = -\frac{3}{2}x - \frac{5}{2}y = -\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3}) - \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 6}{2 \cdot 5} = \frac{4}{2} - \frac{6}{2} = 2 - 3 = -1$
Ответ: -1.

1481. Решите уравнение:

1) $2,5x = -1;$

2) $0,3x = 1;$

3) $7x = -3;$

4) $-16x = 8;$

5) $|x| + 3,2 = 8;$

6) $4,1 - |x| = 5;$

7) $|3x + 1,8| = 0;$

8) $\frac{7}{4} = \frac{x}{2};$

9) $\frac{x+3}{12} = \frac{4}{3};$

10) $0,4x - 6 = 0,6x - 9;$

11) $3x + 16 = 9 - 10x;$

12) $0,6 \left(x + 1\frac{2}{3}\right) = -1,2;$

13) $-3,4 \left(x + 9\frac{3}{11}\right) = -68;$

14) $3(1 - x) + 5(x + 2) = 1 - 4x;$

15) $3(2 - x) - (5x + 4) = 0,4 - 16x;$

16) $2(3 - 5p) = 4(1 - p) - 1.$

1) $2,5x = -1$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2,5$:
$x = \frac{-1}{2,5}$
$x = -0,4$
Ответ: -0,4

2) $0,3x = 1$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,3$:
$x = \frac{1}{0,3}$
$x = \frac{10}{3}$
$x = 3\frac{1}{3}$
Ответ: $3\frac{1}{3}$

3) $7x = -3$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $7$:
$x = -\frac{3}{7}$
Ответ: $-\frac{3}{7}$

4) $-16x = 8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-16$:
$x = \frac{8}{-16}$
$x = -\frac{1}{2} = -0,5$
Ответ: -0,5

5) $|x| + 3,2 = 8$
Выразим $|x|$:
$|x| = 8 - 3,2$
$|x| = 4,8$
Уравнение имеет два корня:
$x_1 = 4,8$ и $x_2 = -4,8$
Ответ: -4,8; 4,8

6) $4,1 - |x| = 5$
Выразим $|x|$:
$-|x| = 5 - 4,1$
$-|x| = 0,9$
$|x| = -0,9$
Модуль числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений

7) $|3x + 1,8| = 0$
Модуль выражения равен нулю, только если само выражение равно нулю:
$3x + 1,8 = 0$
$3x = -1,8$
$x = \frac{-1,8}{3}$
$x = -0,6$
Ответ: -0,6

8) $\frac{7}{4} = \frac{x}{2}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot x = 7 \cdot 2$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4}$
$x = \frac{7}{2} = 3,5$
Ответ: 3,5

9) $\frac{x+3}{12} = \frac{4}{3}$
Используя основное свойство пропорции:
$3 \cdot (x + 3) = 12 \cdot 4$
$3x + 9 = 48$
$3x = 48 - 9$
$3x = 39$
$x = \frac{39}{3}$
$x = 13$
Ответ: 13

10) $0,4x - 6 = 0,6x - 9$
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$9 - 6 = 0,6x - 0,4x$
$3 = 0,2x$
$x = \frac{3}{0,2}$
$x = 15$
Ответ: 15

11) $3x + 16 = 9 - 10x$
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$3x + 10x = 9 - 16$
$13x = -7$
$x = -\frac{7}{13}$
Ответ: $-\frac{7}{13}$

12) $0,6(x + 1\frac{2}{3}) = -1,2$
Разделим обе части уравнения на $0,6$:
$x + 1\frac{2}{3} = \frac{-1,2}{0,6}$
$x + 1\frac{2}{3} = -2$
$x = -2 - 1\frac{2}{3}$
$x = -3\frac{2}{3}$
Ответ: $-3\frac{2}{3}$

13) $-3,4(x + 9\frac{3}{11}) = -68$
Разделим обе части уравнения на $-3,4$:
$x + 9\frac{3}{11} = \frac{-68}{-3,4}$
$x + 9\frac{3}{11} = 20$
$x = 20 - 9\frac{3}{11}$
$x = 19\frac{11}{11} - 9\frac{3}{11}$
$x = 10\frac{8}{11}$
Ответ: $10\frac{8}{11}$

14) $3(1 - x) + 5(x + 2) = 1 - 4x$
Раскроем скобки:
$3 - 3x + 5x + 10 = 1 - 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$2x + 13 = 1 - 4x$
Перенесем слагаемые с переменной влево, а свободные члены — вправо:
$2x + 4x = 1 - 13$
$6x = -12$
$x = \frac{-12}{6}$
$x = -2$
Ответ: -2

15) $3(2 - x) - (5x + 4) = 0,4 - 16x$
Раскроем скобки:
$6 - 3x - 5x - 4 = 0,4 - 16x$
Приведем подобные слагаемые:
$2 - 8x = 0,4 - 16x$
Перенесем слагаемые с переменной влево, а свободные члены — вправо:
$-8x + 16x = 0,4 - 2$
$8x = -1,6$
$x = \frac{-1,6}{8}$
$x = -0,2$
Ответ: -0,2

16) $2(3 - 5p) = 4(1 - p) - 1$
Раскроем скобки:
$6 - 10p = 4 - 4p - 1$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$6 - 10p = 3 - 4p$
Перенесем слагаемые с переменной влево, а свободные члены — вправо:
$-10p + 4p = 3 - 6$
$-6p = -3$
$p = \frac{-3}{-6}$
$p = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: 0,5

1482. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы выполнилось равенство:

1) $*\cdot** = 87;$

2) $**\cdot* = 129;$

3) $***\cdot* = 515;$

4) $**\cdot** = 143;$

5) $**\cdot** = 483;$

6) $**\cdot** = 238.$

1) *. ** = 87
Чтобы решить это уравнение, нужно найти два множителя числа 87, один из которых — однозначное число, а второй — двузначное. Для этого разложим число 87 на простые множители.
Сумма цифр числа 87 равна $8 + 7 = 15$, что делится на 3. Следовательно, 87 делится на 3.
$87 \div 3 = 29$
Число 29 является простым. Таким образом, разложение числа 87 на простые множители: $87 = 3 \times 29$.
Множитель 3 — однозначное число, а 29 — двузначное. Это соответствует условию задачи.
Ответ: $3 \times 29 = 87$.

2) ** . * = 129
Здесь необходимо найти двузначный и однозначный множители числа 129. Разложим 129 на простые множители.
Сумма цифр числа 129 равна $1 + 2 + 9 = 12$, что делится на 3. Следовательно, 129 делится на 3.
$129 \div 3 = 43$
Число 43 является простым. Таким образом, разложение числа 129: $129 = 43 \times 3$.
Множитель 43 — двузначное число, а 3 — однозначное, что соответствует условию.
Ответ: $43 \times 3 = 129$.

3) *** . * = 515
Нужно найти трехзначный и однозначный множители числа 515. Разложим 515 на простые множители.
Число 515 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
$515 \div 5 = 103$
Число 103 является простым. Таким образом, разложение числа 515: $515 = 103 \times 5$.
Множитель 103 — трехзначное число, а 5 — однозначное, что удовлетворяет условию.
Ответ: $103 \times 5 = 515$.

4) ** . ** = 143
В этом случае нужно найти два двузначных множителя числа 143. Разложим 143 на простые множители. Проверим делимость на простые числа.
143 не делится на 2, 3, 5, 7. Проверим делимость на 11.
$143 \div 11 = 13$
Числа 11 и 13 — простые. Таким образом, разложение числа 143: $143 = 11 \times 13$.
Оба множителя, 11 и 13, являются двузначными числами.
Ответ: $11 \times 13 = 143$ (или $13 \times 11 = 143$).

5) ** . ** = 483
Требуется найти два двузначных множителя числа 483. Разложим 483 на простые множители.
Сумма цифр числа 483 равна $4 + 8 + 3 = 15$, что делится на 3.
$483 \div 3 = 161$
Теперь разложим на множители 161. Проверим делимость на простые числа. 161 не делится на 2, 3, 5. Проверим 7.
$161 \div 7 = 23$
Число 23 является простым. Таким образом, простые множители числа 483: $3, 7, 23$.
Теперь сгруппируем эти множители так, чтобы получить два двузначных числа. Единственный способ — это сгруппировать 3 и 7.
$3 \times 7 = 21$
Второй множитель — 23. Оба числа (21 и 23) являются двузначными.
$21 \times 23 = 483$
Ответ: $21 \times 23 = 483$ (или $23 \times 21 = 483$).

6) ** . ** = 238
Нужно найти два двузначных множителя числа 238. Разложим 238 на простые множители.
Число 238 — четное, поэтому оно делится на 2.
$238 \div 2 = 119$
Теперь разложим на множители 119. Проверим делимость на простые числа. 119 не делится на 2, 3, 5. Проверим 7.
$119 \div 7 = 17$
Число 17 является простым. Таким образом, простые множители числа 238: $2, 7, 17$.
Сгруппируем эти множители, чтобы получить два двузначных числа. Единственный способ — это сгруппировать 2 и 7.
$2 \times 7 = 14$
Второй множитель — 17. Оба числа (14 и 17) являются двузначными.
$14 \times 17 = 238$
Ответ: $14 \times 17 = 238$ (или $17 \times 14 = 238$).

1483.1) Чему равен наименьший общий делитель любой пары натуральных чисел?

2) Наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $a$. Верно ли, что число $b$ кратно числу $a$?

3) Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $a$. Верно ли, что число $b$ кратно числу $a$?

1) По определению, натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов: $1, 2, 3, \ldots$. Общий делитель двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это число, на которое делятся без остатка и $a$, и $b$. Любое натуральное число делится на 1. Следовательно, для любой пары натуральных чисел $a$ и $b$ число 1 всегда будет их общим делителем. Поскольку 1 является наименьшим натуральным числом, оно и будет наименьшим общим делителем.
Ответ: 1.

2) Да, это утверждение верно. Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел $a$ и $b$ по определению является делителем каждого из этих чисел. Если дано, что $НОД(a, b) = a$, то это означает, что число $a$ является делителем числа $b$. А если число $a$ является делителем числа $b$, то это по определению означает, что число $b$ кратно числу $a$. Например, $НОД(4, 12) = 4$. При этом 12 кратно 4, так как $12 = 3 \cdot 4$.
Ответ: Да, верно.

3) Нет, это утверждение неверно. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$ по определению является числом, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Если дано, что $НОК(a, b) = a$, то это означает, что число $a$ кратно числу $b$. Это, в свою очередь, означает, что $b$ является делителем $a$. Вопрос же в том, кратно ли $b$ числу $a$ (то есть, является ли $a$ делителем $b$). Это будет правдой только в случае, если $a = b$. В общем случае это не так.
Рассмотрим контрпример: пусть $a = 10$ и $b = 5$.
$НОК(10, 5) = 10$, то есть $НОК(a, b) = a$. Условие выполняется.
Однако число $b=5$ не кратно числу $a=10$, так как 5 не делится на 10 нацело.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Нет, неверно.

1484. Длина комнаты равна 725 см, а ширина – 375 см. Пол этой комнаты решили выложить одинаковыми плитками, имеющими форму квадрата. Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать? Сколько потребуется таких плиток?

Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать?

Чтобы пол комнаты можно было выложить одинаковыми квадратными плитками без необходимости их резать, размер стороны плитки должен быть общим делителем и для длины, и для ширины комнаты. Чтобы найти наибольшую возможную длину стороны плитки, нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 725 и 375.

Для нахождения НОД разложим оба числа на простые множители:
$725 = 5 \cdot 145 = 5 \cdot 5 \cdot 29 = 5^2 \cdot 29$
$375 = 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 15 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 3 \cdot 5^3$

Наибольший общий делитель равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшей степенью, с которой они входят в оба разложения. Единственный общий простой множитель — это 5. Наименьшая степень для него — 2.
$НОД(725, 375) = 5^2 = 25$

Таким образом, наибольшая возможная длина стороны плитки составляет 25 см.
Ответ: 25 см.

Сколько потребуется таких плиток?

Теперь, зная, что сторона плитки равна 25 см, мы можем рассчитать, сколько плиток потребуется для покрытия всего пола.

Сначала определим, сколько плиток поместится по длине и ширине комнаты:
Количество плиток по длине: $N_{длина} = \frac{725}{25} = 29$
Количество плиток по ширине: $N_{ширина} = \frac{375}{25} = 15$

Общее количество плиток равно произведению количества плиток по длине и по ширине:
$N_{общ} = N_{длина} \cdot N_{ширина} = 29 \cdot 15 = 435$

Следовательно, для покрытия всего пола потребуется 435 плиток.
Ответ: 435 плиток.