Страница 319 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1519.Начертите на координатной плоскости замкнутую ломаную, последовательными вершинами которой являются точки с координатами:

$(-10; 6)$, $(-9,5; 8)$, $(-8; 10)$, $(-7; 10)$, $(-6; 9)$, $(-6; 7)$, $(-7; 3)$, $(-7; 1)$, $(-6; 2)$, $(-4; 3)$, $(5; 3)$, $(3; 1)$, $(7; 3)$, $(7; 2)$, $(6; 1)$, $(7; 1)$, $(5; -1)$, $(7; -1)$, $(10; 0)$, $(8; -3)$, $(4; -4)$, $(0; -4)$, $(-4; -3)$, $(-9; -4)$, $(-10; -3)$, $(-10; 0)$, $(-7; 7)$, $(-7; 8)$, $(-8; 7)$, $(-9; 7)$. Отметьте точку $(-8,5; 8,5)$.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги на координатной плоскости:

1. Начертить оси координат $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат) и выбрать единичный отрезок.

2. Отметить на плоскости все точки в том порядке, в котором они указаны в условии. Первая точка имеет координаты $(-10; 6)$, вторая — $(-9,5; 8)$ и так далее.

3. Соединить последовательно каждую точку с последующей с помощью отрезка. То есть, соединить точку $(-10; 6)$ с точкой $(-9,5; 8)$, затем точку $(-9,5; 8)$ с точкой $(-8; 10)$ и так далее до последней указанной точки.

Последовательность соединения точек следующая:
$(-10; 6) \rightarrow (-9,5; 8) \rightarrow (-8; 10) \rightarrow (-7; 10) \rightarrow (-6; 9) \rightarrow (-6; 7) \rightarrow (-7; 3) \rightarrow (-7; 1) \rightarrow (-6; 2) \rightarrow (-4; 3) \rightarrow (5; 3) \rightarrow (3; 1) \rightarrow (7; 3) \rightarrow (7; 2) \rightarrow (6; 1) \rightarrow (7; 1) \rightarrow (5; -1) \rightarrow (7; -1) \rightarrow (10; 0) \rightarrow (8; -3) \rightarrow (4; -4) \rightarrow (0; -4) \rightarrow (-4; -3) \rightarrow (-9; -4) \rightarrow (-10; -3) \rightarrow (-10; 0) \rightarrow (-7; 7) \rightarrow (-7; 8) \rightarrow (-8; 7) \rightarrow (-9; 7)$.

4. Поскольку в задании требуется начертить замкнутую ломаную, необходимо соединить последнюю точку $(-9; 7)$ с самой первой точкой $(-10; 6)$.

В результате выполнения этих действий на координатной плоскости получится контурное изображение, напоминающее динозавра (например, тираннозавра). Часть ломаной линии, проходящая через точки $(-7; 7), (-7; 8), (-8; 7), (-9; 7)$, формирует глаз динозавра.

5. Последний шаг — отметить на этом же чертеже точку с координатами $(-8,5; 8,5)$. Для этого находим на оси $Ox$ значение $-8,5$ (между $-9$ и $-8$) и на оси $Oy$ значение $8,5$ (между $8$ и $9$). Точка будет находиться на пересечении перпендикуляров к осям из этих значений. Эта точка окажется внутри контура головы нарисованного динозавра, немного выше и левее глаза.

Ответ: В результате построения на координатной плоскости получается замкнутая ломаная, образующая рисунок динозавра. Отмеченная точка $(-8,5; 8,5)$ расположена внутри контура головы этого динозавра.

1520. Одна из сторон треугольника составляет 0,6 второй, а третья сторона на – в 1,2 раза больше длины второй. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 21 дм.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть длина второй стороны треугольника равна $x$ дм.

Согласно условию, одна из сторон (первая) составляет 0,6 второй. Значит, ее длина будет $0,6x$ дм.

Третья сторона в 1,2 раза больше второй. Следовательно, ее длина равна $1,2x$ дм.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Зная, что периметр равен 21 дм, мы можем составить уравнение:

$0,6x + x + 1,2x = 21$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим коэффициенты при $x$:

$(0,6 + 1 + 1,2)x = 21$

$2,8x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим 21 на 2,8:

$x = 21 / 2,8$

$x = 210 / 28$

$x = 7,5$

Таким образом, длина второй стороны треугольника составляет 7,5 дм.

Теперь найдем длины остальных сторон:

• Длина первой стороны: $0,6 \cdot 7,5 = 4,5$ дм.
• Длина третьей стороны: $1,2 \cdot 7,5 = 9$ дм.

Проверим правильность решения, сложив длины найденных сторон:

$4,5 \text{ дм} + 7,5 \text{ дм} + 9 \text{ дм} = 12 \text{ дм} + 9 \text{ дм} = 21 \text{ дм}$.

Сумма сторон равна заданному периметру, значит, задача решена верно.

Ответ: длины сторон треугольника равны 4,5 дм, 7,5 дм и 9 дм.

1521. Развёрнутый угол разделили на три угла так, что первый из образовавшихся углов составляет $85\%$ третьего угла, а второй — $40\%$ третьего. Найдите градусные меры этих углов и сделайте рисунок.

Найдите градусные меры этих углов

Развернутый угол равен $180^\circ$. По условию, его разделили на три угла. Обозначим градусную меру третьего угла как $x$.

Тогда, согласно условию задачи, градусная мера первого угла составляет 85% от третьего, то есть равна $0.85x$.

Градусная мера второго угла составляет 40% от третьего, то есть равна $0.4x$.

Сумма этих трех углов должна быть равна градусной мере развернутого угла, то есть $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$0.85x + 0.4x + x = 180$

Складываем все коэффициенты при $x$:

$(0.85 + 0.4 + 1)x = 180$

$2.25x = 180$

Теперь находим $x$:

$x = \frac{180}{2.25} = \frac{18000}{225}$

Для удобства вычислений можно заметить, что $225 = 9 \cdot 25$ и $18000 = 180 \cdot 100$.

$x = \frac{180 \cdot 100}{9 \cdot 25} = \frac{20 \cdot 4}{1} = 80$

Таким образом, градусная мера третьего угла равна $80^\circ$.

Теперь найдем градусные меры первого и второго углов:

Первый угол: $0.85 \cdot x = 0.85 \cdot 80 = 68^\circ$.

Второй угол: $0.4 \cdot x = 0.4 \cdot 80 = 32^\circ$.

Проверим правильность решения, сложив градусные меры всех углов:

$68^\circ + 32^\circ + 80^\circ = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Сумма углов равна развернутому углу, следовательно, задача решена верно.

Ответ: градусные меры углов равны $68^\circ$, $32^\circ$ и $80^\circ$.

Сделайте рисунок

На рисунке показан развернутый угол, разделенный на три угла с найденными градусными мерами.

1522. Прямой угол разделили на три угла так, что первый угол больше второго на $14^{\circ}$, а третий — меньше второго на $20^{\circ}$. Вычислите градусные меры этих углов и сделайте рисунок.

Прямой угол равен $90^\circ$. По условию, его разделили на три угла. Обозначим градусную меру второго угла как $x$.

Тогда, согласно условию задачи, градусная мера первого угла будет на $14^\circ$ больше второго, то есть $(x + 14^\circ)$.

Градусная мера третьего угла будет на $20^\circ$ меньше второго, то есть $(x - 20^\circ)$.

Сумма этих трех углов составляет прямой угол, поэтому мы можем составить следующее уравнение:

$(x + 14) + x + (x - 20) = 90$

Теперь решим это уравнение:

1. Сгруппируем переменные и константы:

$(x + x + x) + (14 - 20) = 90$

$3x - 6 = 90$

2. Перенесем константу в правую часть уравнения:

$3x = 90 + 6$

$3x = 96$

3. Найдем значение $x$:

$x = 96 / 3$

$x = 32$

Таким образом, градусная мера второго угла равна $32^\circ$.

Теперь найдем градусные меры первого и третьего углов:

• Первый угол: $x + 14^\circ = 32^\circ + 14^\circ = 46^\circ$
• Третий угол: $x - 20^\circ = 32^\circ - 20^\circ = 12^\circ$

Проверим, равна ли сумма углов $90^\circ$:

$46^\circ + 32^\circ + 12^\circ = 90^\circ$

Все верно.

Ниже представлен рисунок, схематически изображающий разделение прямого угла.

Ответ: градусные меры углов равны $46^\circ$, $32^\circ$ и $12^\circ$.

1523.За два дня посадили 56 кустов роз, причём во второй день посадили в $1 \frac{2}{3}$ раза больше, чем в первый. Найдите, сколько кустов посадили в первый день и сколько — во второй.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество кустов роз, посаженных в первый день.

Согласно условию, во второй день посадили в $1\frac{2}{3}$ раза больше, то есть $1\frac{2}{3}x$ кустов.

Так как всего за два дня было посажено 56 кустов, мы можем составить и решить уравнение:

$x + 1\frac{2}{3}x = 56$

Преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Подставим это значение в уравнение и решим его:

$x + \frac{5}{3}x = 56$

$\frac{3}{3}x + \frac{5}{3}x = 56$

$\frac{8}{3}x = 56$

Теперь найдем $x$:

$x = 56 : \frac{8}{3}$

$x = 56 \cdot \frac{3}{8}$

$x = \frac{56 \cdot 3}{8} = 7 \cdot 3 = 21$

Таким образом, в первый день посадили 21 куст роз.

Теперь найдем, сколько кустов посадили во второй день. Для этого вычтем из общего количества кустов количество, посаженное в первый день:

$56 - 21 = 35$

Во второй день посадили 35 кустов роз.

Проверим, выполняется ли условие, что во второй день посадили в $1\frac{2}{3}$ раза больше: $21 \cdot 1\frac{2}{3} = 21 \cdot \frac{5}{3} = 35$. Условие выполняется.

Ответ: в первый день посадили 21 куст, во второй — 35 кустов.

1524. За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали $\frac{4}{9}$ того, что продали в первый, а в третий — столько, сколько за первые два дня вместе. Сколько килограммов апельсинов продали в первый день?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ кг — это количество апельсинов, проданных в первый день.

Согласно условию, во второй день продали $ \frac{4}{9} $ того, что продали в первый. Значит, во второй день продали $ \frac{4}{9}x $ кг апельсинов.

В третий день продали столько, сколько за первые два дня вместе. Количество апельсинов, проданных в третий день, равно $ x + \frac{4}{9}x $ кг.

Всего за три дня продали 130 кг апельсинов. Составим и решим уравнение, сложив количество апельсинов, проданных в каждый из трех дней:

$ x + \frac{4}{9}x + (x + \frac{4}{9}x) = 130 $

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$ (1 + \frac{4}{9} + 1 + \frac{4}{9})x = 130 $

$ (2 + \frac{8}{9})x = 130 $

Приведем целое число и дробь к общему знаменателю:

$ (\frac{18}{9} + \frac{8}{9})x = 130 $

$ \frac{26}{9}x = 130 $

Теперь найдем $x$:

$ x = 130 \div \frac{26}{9} $

$ x = 130 \cdot \frac{9}{26} $

Сократим 130 и 26 (130 / 26 = 5):

$ x = 5 \cdot 9 $

$ x = 45 $

Таким образом, в первый день продали 45 кг апельсинов.

Проверим решение:

• Первый день: 45 кг.
• Второй день: $ 45 \cdot \frac{4}{9} = 5 \cdot 4 = 20 $ кг.
• Третий день: $ 45 + 20 = 65 $ кг.
• Всего за три дня: $ 45 + 20 + 65 = 130 $ кг.

Расчеты верны.

Ответ: в первый день продали 45 килограммов апельсинов.

1525. С двух станций, расстояние между которыми равно 360 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Скорость одного из них на 10 км/ч меньше скорости другого. Найдите скорость каждого поезда, если они встретились через 2,4 ч после начала движения.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость одного, более быстрого, поезда равна $x$ км/ч.

Так как скорость второго поезда на 10 км/ч меньше, то его скорость будет равна $(x - 10)$ км/ч.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = x + (x - 10) = 2x - 10$ км/ч.

Общее расстояние, пройденное поездами до встречи, равно расстоянию между станциями и вычисляется по формуле $S = v \times t$. В данном случае $S = 360$ км, а время до встречи $t = 2.4$ ч.

Составим и решим уравнение:

$(2x - 10) \times 2.4 = 360$

Разделим обе части уравнения на 2.4:

$2x - 10 = \frac{360}{2.4}$

$2x - 10 = 150$

Перенесем -10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 150 + 10$

$2x = 160$

Найдем $x$:

$x = \frac{160}{2}$

$x = 80$

Таким образом, скорость первого (более быстрого) поезда составляет 80 км/ч.

Теперь найдем скорость второго поезда:

$x - 10 = 80 - 10 = 70$ км/ч.

Ответ: скорость одного поезда 70 км/ч, а скорость другого поезда 80 км/ч.

1526.Два автомобиля едут навстречу друг другу. Скорость первого автомобиля равна 75 км/ч, что составляет $\frac{5}{6}$ скорости второго. Второй автомобиль выехал на 1,6 ч позже первого. Через сколько часов после выезда второго автомобиля они встретятся, если начальное расстояние между ними составляло 615 км?

1. Найдем скорость второго автомобиля.
Скорость первого автомобиля $v_1 = 75$ км/ч, что по условию составляет $\frac{5}{6}$ скорости второго автомобиля ($v_2$). Чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно скорость первого разделить на эту дробь:
$v_2 = 75 \div \frac{5}{6} = 75 \cdot \frac{6}{5} = \frac{75 \cdot 6}{5} = 15 \cdot 6 = 90$ км/ч.
Ответ: 90 км/ч.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль до выезда второго.
Второй автомобиль выехал на 1,6 часа позже первого. За это время первый автомобиль проехал расстояние, равное его скорости, умноженной на это время:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 75 \cdot 1.6 = 120$ км.
Ответ: 120 км.

3. Найдем расстояние между автомобилями в момент выезда второго.
Изначально между автомобилями было 615 км. После того как первый автомобиль проехал 120 км, расстояние между ними сократилось:
$S_{ост} = 615 - 120 = 495$ км.
Ответ: 495 км.

4. Найдем скорость сближения автомобилей.
Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 75 + 90 = 165$ км/ч.
Ответ: 165 км/ч.

5. Найдем время, через которое автомобили встретятся после выезда второго автомобиля.
Чтобы найти время до встречи с момента выезда второго автомобиля, нужно оставшееся расстояние разделить на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{495}{165} = 3$ ч.
Ответ: 3 ч.

1527. От села до станции Егор может доехать на велосипеде за 3 ч, а дойти пешком – за 7 ч. Его скорость пешком на 8 км/ч меньше, чем скорость на велосипеде. С какой скоростью ездит Егор на велосипеде? Каково расстояние от села до станции?

Для решения задачи введем переменные:

$v$ — скорость Егора на велосипеде в км/ч.

Тогда $(v - 8)$ км/ч — скорость Егора пешком, так как она на 8 км/ч меньше.

Расстояние от села до станции можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Расстояние, пройденное на велосипеде за 3 часа: $S = v \cdot 3$

2. Расстояние, пройденное пешком за 7 часов: $S = (v - 8) \cdot 7$

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$3v = 7(v - 8)$

С какой скоростью ездит Егор на велосипеде?

Решим полученное уравнение, чтобы найти скорость на велосипеде ($v$).

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3v = 7v - 56$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$56 = 7v - 3v$

$56 = 4v$

Найдем $v$:

$v = \frac{56}{4}$

$v = 14$ (км/ч)

Ответ: скорость Егора на велосипеде 14 км/ч.

Каково расстояние от села до станции?

Теперь, когда мы знаем скорость на велосипеде, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v$ в любую из формул для расстояния.

Используем формулу для поездки на велосипеде:

$S = 3v = 3 \cdot 14 = 42$ (км)

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя данные о движении пешком. Скорость пешком: $14 - 8 = 6$ км/ч. Расстояние: $S = 6 \cdot 7 = 42$ км. Результаты совпадают.

Ответ: расстояние от села до станции 42 км.