Страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1509. 1) Разделите число 96 на три части $x, y$ и $z$ так, чтобы $x : y = 3 : 4$, а $y : z = 4 : 9$.

2) Разделите число 185 на три части $x, y$ и $z$ так, чтобы $x : y = 3 : 2$, а $y : z = 2\frac{1}{2} : 3$.

По условию задачи, число 96 нужно разделить на три части $x, y, z$. Сумма этих частей равна 96, то есть $x + y + z = 96$.

Даны два отношения: $x : y = 3 : 4$ и $y : z = 4 : 9$.

Поскольку в обоих отношениях часть $y$ соответствует одному и тому же числу (4), мы можем объединить их в одно непрерывное отношение: $x : y : z = 3 : 4 : 9$.

Это означает, что части $x, y, z$ можно выразить через коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 3k$
$y = 4k$
$z = 9k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы:
$3k + 4k + 9k = 96$
$16k = 96$
$k = \frac{96}{16} = 6$

Теперь найдем значения каждой части:
$x = 3 \cdot 6 = 18$
$y = 4 \cdot 6 = 24$
$z = 9 \cdot 6 = 54$

Проверим, что сумма частей равна 96:
$18 + 24 + 54 = 42 + 54 = 96$.
Условие выполнено.

Ответ: $x=18, y=24, z=54$.

По условию задачи, число 185 нужно разделить на три части $x, y, z$. Сумма этих частей равна 185: $x + y + z = 185$.

Даны два отношения: $x : y = 3 : 2$ и $y : z = 2\frac{1}{2} : 3$.

Сначала преобразуем второе отношение, чтобы избавиться от дроби. Представим $2\frac{1}{2}$ как неправильную дробь $\frac{5}{2}$:
$y : z = \frac{5}{2} : 3$.
Умножим обе части отношения на 2, чтобы получить целые числа:
$y : z = (\frac{5}{2} \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 5 : 6$.

Теперь у нас есть два отношения: $x : y = 3 : 2$ и $y : z = 5 : 6$. Чтобы их объединить, нужно, чтобы часть $y$ в обоих отношениях соответствовала одному и тому же числу. Найдем наименьшее общее кратное для чисел 2 и 5. НОК(2, 5) = 10.

Приведем оба отношения к общему значению для $y$ (равному 10):
Для $x : y = 3 : 2$ умножим обе части на 5: $x : y = (3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 15 : 10$.
Для $y : z = 5 : 6$ умножим обе части на 2: $y : z = (5 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 10 : 12$.

Теперь мы можем записать непрерывное отношение: $x : y : z = 15 : 10 : 12$.

Выразим $x, y, z$ через коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 15k$
$y = 10k$
$z = 12k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы:
$15k + 10k + 12k = 185$
$37k = 185$
$k = \frac{185}{37} = 5$

Теперь найдем значения каждой части:
$x = 15 \cdot 5 = 75$
$y = 10 \cdot 5 = 50$
$z = 12 \cdot 5 = 60$

Проверим, что сумма частей равна 185:
$75 + 50 + 60 = 125 + 60 = 185$.
Условие выполнено.

Ответ: $x=75, y=50, z=60$.

1510.Магазин продал за три дня партию яблок, причём в первый день было продано $\frac{9}{20}$ массы яблок, а во второй $-$ 60 % оставшейся. Сколько килограммов яблок было продано за три дня, если во второй день

продали 660 кг?

Для решения задачи будем двигаться в обратном порядке, отталкиваясь от известных данных.

1. Найдем массу яблок, оставшихся после первого дня продажи.

Известно, что во второй день было продано 60% яблок, оставшихся после первого дня, и это составило 660 кг. Пусть $x$ — это масса яблок, оставшихся после первого дня. Тогда мы можем составить уравнение:

$0.6 \cdot x = 660$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.6:

$x = 660 \div 0.6 = 1100$ кг.

Таким образом, после первого дня в магазине осталось 1100 кг яблок.

2. Найдем общую массу партии яблок.

В первый день было продано $\frac{9}{20}$ всей партии яблок. Следовательно, доля яблок, оставшихся после первого дня, составляет:

$1 - \frac{9}{20} = \frac{20}{20} - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$

Мы уже знаем, что масса оставшихся яблок равна 1100 кг. Пусть $M$ — это общая масса всей партии яблок. Тогда:

$\frac{11}{20} \cdot M = 1100$

Чтобы найти $M$, разделим 1100 на дробь $\frac{11}{20}$:

$M = 1100 \div \frac{11}{20} = 1100 \cdot \frac{20}{11} = \frac{1100 \cdot 20}{11} = 100 \cdot 20 = 2000$ кг.

3. Определим, сколько всего яблок было продано за три дня.

Согласно условию, магазин продал всю партию яблок за три дня. Это означает, что общая масса проданных яблок равна начальной массе всей партии, то есть 2000 кг.

Для проверки можем рассчитать продажи по дням:

• День 1: $\frac{9}{20} \cdot 2000 = 9 \cdot 100 = 900$ кг.
• Остаток после дня 1: $2000 - 900 = 1100$ кг.
• День 2: $60\%$ от 1100 кг = $0.6 \cdot 1100 = 660$ кг (что соответствует условию).
• Остаток после дня 2 (продано в день 3): $1100 - 660 = 440$ кг.
• Всего продано: $900 + 660 + 440 = 2000$ кг.

Ответ: 2000 кг.

1511. Расстояние между двумя городами мотоциклист проехал за 3 ч. За первый час он проехал 0,3 всего пути, за второй – $ \frac{16}{35} $ оставшегося, а за третий – на 10,5 км больше, чем за второй. Найдите расстояние между городами.

Пусть $S$ км — искомое расстояние между двумя городами.

1. Расстояние, пройденное за первый час.
За первый час мотоциклист проехал 0,3 всего пути, что составляет $0,3S$ км.

2. Оставшееся расстояние.
После первого часа пути осталось проехать:$S - 0,3S = 0,7S$ км.

3. Расстояние, пройденное за второй час.
За второй час он проехал $\frac{16}{35}$ от оставшегося пути. Вычислим эту величину:$\frac{16}{35} \cdot (0,7S) = \frac{16}{35} \cdot \frac{7}{10}S = \frac{16 \cdot 7}{35 \cdot 10}S = \frac{16}{5 \cdot 10}S = \frac{16}{50}S = \frac{8}{25}S$ км.Переведем в десятичную дробь для удобства: $\frac{8}{25}S = 0,32S$ км.

4. Расстояние, пройденное за третий час.
За третий час он проехал на 10,5 км больше, чем за второй. Значит, расстояние за третий час равно:$(0,32S + 10,5)$ км.

5. Составление и решение уравнения.
Сумма расстояний, пройденных за три часа, равна общему расстоянию $S$. Составим уравнение:$0,3S + 0,32S + (0,32S + 10,5) = S$

Сложим все части, содержащие $S$, в левой части уравнения:$(0,3 + 0,32 + 0,32)S + 10,5 = S$$0,94S + 10,5 = S$

Перенесем $0,94S$ в правую часть уравнения, чтобы выразить $S$:$10,5 = S - 0,94S$$10,5 = 0,06S$

Теперь найдем $S$:$S = \frac{10,5}{0,06}$Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:$S = \frac{1050}{6}$$S = 175$ км.

Таким образом, расстояние между городами составляет 175 км.

Ответ: 175 км.

1512. Начертите: 1) остроугольный треугольник; 2) тупоугольный треугольник; 3) прямоугольный треугольник.

Отметьте внутри треугольника точку $A$ и проведите через неё прямые:

а) перпендикулярные сторонам треугольника;

б) параллельные сторонам треугольника.

1) Остроугольный треугольник

Начертим остроугольный треугольник $\triangle BCD$, все углы которого меньше $90^\circ$. Внутри треугольника отметим произвольную точку А.

Для построения прямых, перпендикулярных сторонам треугольника и проходящих через точку А, используем угольник и линейку. Прикладываем одну сторону угольника к стороне треугольника (например, $BC$), а по другой его стороне проводим прямую через точку А. Повторяем эту операцию для двух других сторон ($CD$ и $BD$). Получим три прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ такие, что $l_1 \perp BC$, $l_2 \perp CD$ и $l_3 \perp BD$.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и перпендикулярные сторонам остроугольного треугольника.

Для построения прямых, параллельных сторонам, можно использовать линейку и угольник. Прикладываем угольник к одной из сторон (например, $BC$), к другому катету угольника прикладываем линейку. Затем, удерживая линейку неподвижно, двигаем угольник вдоль нее, пока его сторона не пройдет через точку А. Проводим прямую. Повторяем операцию для двух других сторон. Получим три прямые $m_1$, $m_2$, $m_3$ такие, что $m_1 \parallel BC$, $m_2 \parallel CD$ и $m_3 \parallel BD$.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и параллельные сторонам остроугольного треугольника.

2) Тупоугольный треугольник

Начертим тупоугольный треугольник $\triangle EFG$, один из углов которого больше $90^\circ$. Внутри треугольника отметим произвольную точку А.

Построение выполняется аналогично предыдущему случаю. Через точку А проводим три прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$, перпендикулярные сторонам $EF$, $FG$ и $EG$ соответственно. Следует отметить, что перпендикуляр может пересекать не саму сторону, а ее продолжение.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и перпендикулярные сторонам тупоугольного треугольника.

Построение выполняется так же, как и для остроугольного треугольника. Через точку А проводим три прямые $m_1$, $m_2$, $m_3$, параллельные сторонам $EF$, $FG$ и $EG$ соответственно.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и параллельные сторонам тупоугольного треугольника.

3) Прямоугольный треугольник

Начертим прямоугольный треугольник $\triangle HIJ$, у которого угол $\angle I = 90^\circ$. Внутри треугольника отметим произвольную точку А.

Проводим через точку А три прямые, перпендикулярные сторонам. Прямая, перпендикулярная катету $IJ$, будет параллельна катету $HI$. Прямая, перпендикулярная катету $HI$, будет параллельна катету $IJ$. Также строим прямую, перпендикулярную гипотенузе $HJ$.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и перпендикулярные сторонам прямоугольного треугольника.

Проводим через точку А три прямые, параллельные сторонам. Прямая, параллельная катету $HI$, будет перпендикулярна катету $IJ$. Прямая, параллельная катету $IJ$, будет перпендикулярна катету $HI$. Также строим прямую, параллельную гипотенузе $HJ$.

Ответ: На рисунке показаны три прямые, проходящие через точку А и параллельные сторонам прямоугольного треугольника.

1513. Сторона квадрата $ABCD$ равна $4\text{ см}$. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата $ABCD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, $a = 4$ см.

Площадь квадрата $ABCD$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{ABCD} = 4^2 = 16$ см$^2$.

Пусть точки $E, F, G, H$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нам нужно найти площадь четырехугольника $EFGH$.

Соединив середины сторон квадрата, мы отсекаем от него четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам: $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ и $\triangle GDH$.

Рассмотрим один из них, например, треугольник $\triangle HAE$. Его катеты $AH$ и $AE$ равны половине стороны квадрата:

$AH = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

$AE = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle HAE} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см$^2$.

Все четыре угловых треугольника равны, поэтому их общая площадь составляет:

$S_{угловых} = 4 \cdot S_{\triangle HAE} = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Чтобы найти площадь внутреннего четырехугольника $EFGH$, нужно вычесть из площади всего квадрата $ABCD$ общую площадь четырех угловых треугольников:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} - S_{угловых} = 16 - 8 = 8$ см$^2$.

Способ 2:

Четырехугольник, образованный соединением середин сторон квадрата, сам является квадратом. Найдем длину его стороны, например, $HE$, по теореме Пифагора из треугольника $\triangle HAE$:

$HE^2 = AH^2 + AE^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Площадь квадрата $EFGH$ равна квадрату его стороны $HE$:

$S_{EFGH} = HE^2 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.

1514. Постройте фигуру, симметричную ломаной ABCD (рис. 317) относительно:

1) точки C;

2) точки D.

Рис. 317

Чтобы построить фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно некоторой точки (центра симметрии), необходимо построить точки, симметричные каждой из вершин ломаной ($A$, $B$, $C$, $D$), а затем соединить их в том же порядке. Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$.

1) точки C

Центром симметрии является точка $C$. Для построения искомой фигуры выполним следующие шаги:

1. Найдем точку $C'$, симметричную точке $C$. Так как точка $C$ является центром симметрии, ее симметричный образ — это она сама. Таким образом, $C' = C$.
2. Найдем точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно $C$. Для этого проведем луч $BC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CB'$, равный отрезку $BC$. Точка $B'$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $C$.
3. Найдем точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно $C$. Для этого проведем луч $DC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CD'$, равный отрезку $CD$. Точка $D'$ будет лежать на продолжении отрезка $DC$ за точку $C$.
4. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно $C$. Для этого соединим точки $A$ и $C$ отрезком и проведем луч $AC$. На этом луче отложим от точки $C$ отрезок $CA'$, равный отрезку $AC$.
5. Последовательно соединим полученные точки. В результате получим ломаную $A'B'C'D'$, которая и является фигурой, симметричной ломаной $ABCD$ относительно точки $C$. Эта операция эквивалентна повороту ломаной $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $C$.

Ответ: Искомая фигура — это ломаная $A'B'C'D'$, полученная путем построения точек $A', B', D'$, симметричных соответственно точкам $A, B, D$ относительно точки $C$ (точка $C'$ совпадает с $C$), и их последовательного соединения.

2) точки D

Центром симметрии является точка $D$. Для построения искомой фигуры выполним следующие шаги:

1. Найдем точку $D''$, симметричную точке $D$. Так как точка $D$ является центром симметрии, ее симметричный образ — это она сама. Таким образом, $D'' = D$.
2. Найдем точку $C''$, симметричную точке $C$ относительно $D$. Для этого проведем луч $CD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DC''$, равный отрезку $CD$. Точка $C''$ будет лежать на продолжении отрезка $CD$ за точку $D$.
3. Найдем точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно $D$. Для этого проведем луч $AD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DA''$, равный отрезку $AD$. Точка $A''$ будет лежать на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$.
4. Найдем точку $B''$, симметричную точке $B$ относительно $D$. Для этого соединим точки $B$ и $D$ отрезком и проведем луч $BD$. На этом луче отложим от точки $D$ отрезок $DB''$, равный отрезку $BD$.
5. Последовательно соединим полученные точки. В результате получим ломаную $A''B''C''D''$, которая и является фигурой, симметричной ломаной $ABCD$ относительно точки $D$. Эта операция эквивалентна повороту ломаной $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $D$.

Ответ: Искомая фигура — это ломаная $A''B''C''D''$, полученная путем построения точек $A'', B'', C''$, симметричных соответственно точкам $A, B, C$ относительно точки $D$ (точка $D''$ совпадает с $D$), и их последовательного соединения.

1515. Постройте квадрат $ABCD$, сторона которого равна 2 см. Через вершину $D$ проведите прямую, параллельную прямой $AC$. Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно проведенной прямой.

Для построения квадрата $ABCD$ со стороной 2 см выполним следующие действия:

1. С помощью линейки построим отрезок $AD$ длиной 2 см.
2. С помощью угольника или циркуля и линейки построим лучи, выходящие из точек $A$ и $D$ и перпендикулярные отрезку $AD$, так, чтобы они лежали в одной полуплоскости относительно прямой $AD$.
3. На перпендикуляре, выходящем из точки $A$, отложим отрезок $AB$, равный 2 см.
4. На перпендикуляре, выходящем из точки $D$, отложим отрезок $DC$, равный 2 см.
5. Соединим отрезком точки $B$ и $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Ответ: Квадрат $ABCD$ со стороной 2 см построен.

Для проведения прямой через вершину $D$, параллельной диагонали $AC$, выполним следующие шаги:

1. Проведем диагонали квадрата $AC$ и $BD$.
2. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
3. Искомая прямая (обозначим ее $l$) должна проходить через точку $D$ и быть параллельной $AC$.
4. Известно, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Так как $l \parallel AC$ и $AC \perp BD$, то и $l \perp BD$.
5. Таким образом, задача сводится к построению прямой $l$, проходящей через точку $D$ и перпендикулярной диагонали $BD$. Строим такую прямую с помощью угольника или циркуля.

Ответ: Прямая $l$, проходящая через $D$ и параллельная $AC$, построена.

Для построения фигуры, симметричной квадрату $ABCD$ относительно прямой $l$ (оси симметрии), необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, симметричные вершинам квадрата $A, B, C, D$.

1. Поскольку точка $D$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя, то есть $D' = D$.
2. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$, опустим из точки $A$ перпендикуляр на прямую $l$. Пусть $H_A$ — основание перпендикуляра. На продолжении отрезка $AH_A$ за точку $H_A$ отложим отрезок $H_A A'$, равный по длине отрезку $AH_A$.
3. Аналогично построим точки $B'$ и $C'$, симметричные точкам $B$ и $C$ соответственно, опустив из них перпендикуляры на прямую $l$ и отложив равные отрезки на их продолжениях.
4. Соединим последовательно точки $A', B', C', D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ является искомой фигурой.

Так как осевая симметрия является движением (сохраняет расстояния и углы), полученная фигура $A'B'C'D'$ также является квадратом со стороной 2 см, имеющим с исходным квадратом $ABCD$ общую вершину $D$.

Ответ: Фигура, симметричная данному квадрату относительно проведённой прямой, построена. Это квадрат $A'B'C'D'$, равный исходному.

1516. Начертите на координатной плоскости отрезки $AB$ и $CD$ такие, что $A (1; -2)$, $B (4; 4)$, $C (5; -1)$, $D (-1; 1)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Задача состоит из двух частей: построение отрезков на координатной плоскости и нахождение координат точки их пересечения. Построение выполняется путем нанесения точек с заданными координатами и их соединения.

Для нахождения точных координат точки пересечения решим задачу аналитически. Сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки AB и CD.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Уравнение прямой AB

Подставим в формулу координаты точек A(1; -2) и B(4; 4):

$\frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)}$

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{6}$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на 6:

$2(x - 1) = y + 2$

$2x - 2 = y + 2$

$y = 2x - 4$

Это уравнение прямой, содержащей отрезок AB.

Уравнение прямой CD

Подставим в формулу координаты точек C(5; -1) и D(-1; 1):

$\frac{x - 5}{-1 - 5} = \frac{y - (-1)}{1 - (-1)}$

$\frac{x - 5}{-6} = \frac{y + 1}{2}$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на -6:

$x - 5 = -3(y + 1)$

$x - 5 = -3y - 3$

$3y = -x + 2$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Это уравнение прямой, содержащей отрезок CD.

Нахождение координат точки пересечения

Точка пересечения является общим решением для обоих уравнений. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$2x - 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3 \cdot (2x - 4) = 3 \cdot (-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3})$

$6x - 12 = -x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$6x + x = 12 + 2$

$7x = 14$

$x = 2$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x = 2$ в первое уравнение:

$y = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Таким образом, прямые AB и CD пересекаются в точке с координатами (2; 0). Осталось проверить, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.

Для отрезка AB (A(1; -2), B(4; 4)): координата $x=2$ находится в интервале $[1, 4]$, а координата $y=0$ — в интервале $[-2, 4]$. Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке AB.

Для отрезка CD (C(5; -1), D(-1; 1)): координата $x=2$ находится в интервале $[-1, 5]$, а координата $y=0$ — в интервале $[-1, 1]$. Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке CD.

Поскольку точка принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: (2; 0).

1517.Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку $(-3; 4)$. Найдите координаты точек пересечения этой окружности с осями координат и вычислите длину окружности в единичных отрезках координатных осей.

1. Построение окружности и нахождение ее радиуса

Уравнение окружности с центром в начале координат, точке O(0; 0), имеет вид $x^2 + y^2 = r^2$, где $r$ — это радиус окружности.

По условию, окружность проходит через точку с координатами (-3; 4). Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = -3$ и $y = 4$ в уравнение, чтобы найти квадрат радиуса $r^2$:

$(-3)^2 + 4^2 = r^2$

$9 + 16 = r^2$

$r^2 = 25$

Отсюда находим радиус: $r = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, для построения окружности нужно на координатной плоскости с центром в точке (0; 0) провести окружность радиусом 5 единичных отрезков.

Ответ: Окружность имеет центр в начале координат (0; 0) и радиус, равный 5. Ее уравнение: $x^2 + y^2 = 25$.

2. Нахождение координат точек пересечения окружности с осями координат

Чтобы найти точки пересечения окружности с осью абсцисс (осью Ox), нужно в уравнение окружности подставить $y = 0$:

$x^2 + 0^2 = 25$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Значит, точки пересечения с осью Ox имеют координаты (5; 0) и (-5; 0).

Чтобы найти точки пересечения окружности с осью ординат (осью Oy), нужно в уравнение окружности подставить $x = 0$:

$0^2 + y^2 = 25$

$y^2 = 25$

$y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.

Значит, точки пересечения с осью Oy имеют координаты (0; 5) и (0; -5).

Ответ: Координаты точек пересечения окружности с осями координат: (5; 0), (-5; 0), (0; 5), (0; -5).

3. Вычисление длины окружности

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2 \pi r$, где $r$ — радиус окружности.

Из первого пункта мы знаем, что радиус данной окружности $r = 5$. Подставим это значение в формулу:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10 \pi$

Длина окружности измеряется в тех же единичных отрезках, что и оси координат.

Ответ: Длина окружности равна $10 \pi$ единичных отрезков.

1518. На координатной плоскости отметьте точки $E(-2; -6)$ и $F(4; 3)$. Проведите прямую $EF$ и найдите:

1) координаты точек пересечения прямой $EF$ с осями координат;

2) ординату точки, принадлежащей прямой $EF$, абсцисса которой равна 1;

3) абсциссу точки, принадлежащей прямой $EF$, ордината которой равна 6.

Для решения задачи сначала найдем уравнение прямой EF, проходящей через заданные точки E(-2; -6) и F(4; 3). Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек E и F в эту формулу:
$\frac{x - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{y - (-6)}{3 - (-6)}$
$\frac{x + 2}{6} = \frac{y + 6}{9}$

Теперь преобразуем это уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы с ним было удобнее работать:
$9 \cdot (x + 2) = 6 \cdot (y + 6)$
$9x + 18 = 6y + 36$
$6y = 9x + 18 - 36$
$6y = 9x - 18$
Разделим обе части на 6:
$y = \frac{9}{6}x - \frac{18}{6}$
$y = 1,5x - 3$

Теперь, используя полученное уравнение прямой $y = 1,5x - 3$, найдем требуемые значения.

1) координаты точек пересечения прямой EF с осями координат

Пересечение с осью ординат (OY) происходит, когда абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$y = 1,5 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты (0; -3).

Пересечение с осью абсцисс (OX) происходит, когда ордината $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 = 1,5x - 3$
$1,5x = 3$
$x = \frac{3}{1,5} = 2$.
Таким образом, точка пересечения с осью OX имеет координаты (2; 0).
Ответ: с осью OY в точке (0; -3), с осью OX в точке (2; 0).

2) ординату точки, принадлежащей прямой EF, абсцисса которой равна 1

Чтобы найти ординату, подставим в уравнение прямой значение абсциссы $x = 1$:
$y = 1,5 \cdot 1 - 3 = 1,5 - 3 = -1,5$.
Ответ: -1,5.

3) абсциссу точки, принадлежащей прямой EF, ордината которой равна 6

Чтобы найти абсциссу, подставим в уравнение прямой значение ординаты $y = 6$:
$6 = 1,5x - 3$
$1,5x = 6 + 3$
$1,5x = 9$
$x = \frac{9}{1,5} = 6$.
Ответ: 6.