Номер 1513, страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1513, страница 318.

Условие.

1513. Сторона квадрата $ABCD$ равна $4\text{ см}$. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата $ABCD$.

Решение.

Решение 2.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, $a = 4$ см.

Площадь квадрата $ABCD$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{ABCD} = 4^2 = 16$ см$^2$.

Пусть точки $E, F, G, H$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нам нужно найти площадь четырехугольника $EFGH$.

Соединив середины сторон квадрата, мы отсекаем от него четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам: $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ и $\triangle GDH$.

Рассмотрим один из них, например, треугольник $\triangle HAE$. Его катеты $AH$ и $AE$ равны половине стороны квадрата:

$AH = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

$AE = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle HAE} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см$^2$.

Все четыре угловых треугольника равны, поэтому их общая площадь составляет:

$S_{угловых} = 4 \cdot S_{\triangle HAE} = 4 \cdot 2 = 8$ см$^2$.

Чтобы найти площадь внутреннего четырехугольника $EFGH$, нужно вычесть из площади всего квадрата $ABCD$ общую площадь четырех угловых треугольников:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} - S_{угловых} = 16 - 8 = 8$ см$^2$.

Способ 2:

Четырехугольник, образованный соединением середин сторон квадрата, сам является квадратом. Найдем длину его стороны, например, $HE$, по теореме Пифагора из треугольника $\triangle HAE$:

$HE^2 = AH^2 + AE^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Площадь квадрата $EFGH$ равна квадрату его стороны $HE$:

$S_{EFGH} = HE^2 = 8$ см$^2$.

Ответ: 8 см$^2$.