Номер 1515, страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1515, страница 318.

Условие.

1515. Постройте квадрат $ABCD$, сторона которого равна 2 см. Через вершину $D$ проведите прямую, параллельную прямой $AC$. Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно проведенной прямой.

Решение.

Решение 2.

Постройте квадрат ABCD, сторона которого равна 2 см.

Для построения квадрата $ABCD$ со стороной 2 см выполним следующие действия:

1. С помощью линейки построим отрезок $AD$ длиной 2 см.
2. С помощью угольника или циркуля и линейки построим лучи, выходящие из точек $A$ и $D$ и перпендикулярные отрезку $AD$, так, чтобы они лежали в одной полуплоскости относительно прямой $AD$.
3. На перпендикуляре, выходящем из точки $A$, отложим отрезок $AB$, равный 2 см.
4. На перпендикуляре, выходящем из точки $D$, отложим отрезок $DC$, равный 2 см.
5. Соединим отрезком точки $B$ и $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Ответ: Квадрат $ABCD$ со стороной 2 см построен.

Через вершину D проведите прямую, параллельную прямой AC.

Для проведения прямой через вершину $D$, параллельной диагонали $AC$, выполним следующие шаги:

1. Проведем диагонали квадрата $AC$ и $BD$.
2. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
3. Искомая прямая (обозначим ее $l$) должна проходить через точку $D$ и быть параллельной $AC$.
4. Известно, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Так как $l \parallel AC$ и $AC \perp BD$, то и $l \perp BD$.
5. Таким образом, задача сводится к построению прямой $l$, проходящей через точку $D$ и перпендикулярной диагонали $BD$. Строим такую прямую с помощью угольника или циркуля.

Ответ: Прямая $l$, проходящая через $D$ и параллельная $AC$, построена.

Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно проведённой прямой.

Для построения фигуры, симметричной квадрату $ABCD$ относительно прямой $l$ (оси симметрии), необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, симметричные вершинам квадрата $A, B, C, D$.

1. Поскольку точка $D$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя, то есть $D' = D$.
2. Для построения точки $A'$, симметричной точке $A$, опустим из точки $A$ перпендикуляр на прямую $l$. Пусть $H_A$ — основание перпендикуляра. На продолжении отрезка $AH_A$ за точку $H_A$ отложим отрезок $H_A A'$, равный по длине отрезку $AH_A$.
3. Аналогично построим точки $B'$ и $C'$, симметричные точкам $B$ и $C$ соответственно, опустив из них перпендикуляры на прямую $l$ и отложив равные отрезки на их продолжениях.
4. Соединим последовательно точки $A', B', C', D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ является искомой фигурой.

Так как осевая симметрия является движением (сохраняет расстояния и углы), полученная фигура $A'B'C'D'$ также является квадратом со стороной 2 см, имеющим с исходным квадратом $ABCD$ общую вершину $D$.

Ответ: Фигура, симметричная данному квадрату относительно проведённой прямой, построена. Это квадрат $A'B'C'D'$, равный исходному.