Номер 1509, страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1509, страница 318.

Условие.

1509. 1) Разделите число 96 на три части $x, y$ и $z$ так, чтобы $x : y = 3 : 4$, а $y : z = 4 : 9$.

2) Разделите число 185 на три части $x, y$ и $z$ так, чтобы $x : y = 3 : 2$, а $y : z = 2\frac{1}{2} : 3$.

Решение.

Решение 2.

1)

По условию задачи, число 96 нужно разделить на три части $x, y, z$. Сумма этих частей равна 96, то есть $x + y + z = 96$.

Даны два отношения: $x : y = 3 : 4$ и $y : z = 4 : 9$.

Поскольку в обоих отношениях часть $y$ соответствует одному и тому же числу (4), мы можем объединить их в одно непрерывное отношение: $x : y : z = 3 : 4 : 9$.

Это означает, что части $x, y, z$ можно выразить через коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 3k$
$y = 4k$
$z = 9k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы:
$3k + 4k + 9k = 96$
$16k = 96$
$k = \frac{96}{16} = 6$

Теперь найдем значения каждой части:
$x = 3 \cdot 6 = 18$
$y = 4 \cdot 6 = 24$
$z = 9 \cdot 6 = 54$

Проверим, что сумма частей равна 96:
$18 + 24 + 54 = 42 + 54 = 96$.
Условие выполнено.

Ответ: $x=18, y=24, z=54$.

2)

По условию задачи, число 185 нужно разделить на три части $x, y, z$. Сумма этих частей равна 185: $x + y + z = 185$.

Даны два отношения: $x : y = 3 : 2$ и $y : z = 2\frac{1}{2} : 3$.

Сначала преобразуем второе отношение, чтобы избавиться от дроби. Представим $2\frac{1}{2}$ как неправильную дробь $\frac{5}{2}$:
$y : z = \frac{5}{2} : 3$.
Умножим обе части отношения на 2, чтобы получить целые числа:
$y : z = (\frac{5}{2} \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 5 : 6$.

Теперь у нас есть два отношения: $x : y = 3 : 2$ и $y : z = 5 : 6$. Чтобы их объединить, нужно, чтобы часть $y$ в обоих отношениях соответствовала одному и тому же числу. Найдем наименьшее общее кратное для чисел 2 и 5. НОК(2, 5) = 10.

Приведем оба отношения к общему значению для $y$ (равному 10):
Для $x : y = 3 : 2$ умножим обе части на 5: $x : y = (3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 15 : 10$.
Для $y : z = 5 : 6$ умножим обе части на 2: $y : z = (5 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 10 : 12$.

Теперь мы можем записать непрерывное отношение: $x : y : z = 15 : 10 : 12$.

Выразим $x, y, z$ через коэффициент пропорциональности $k$:
$x = 15k$
$y = 10k$
$z = 12k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы:
$15k + 10k + 12k = 185$
$37k = 185$
$k = \frac{185}{37} = 5$

Теперь найдем значения каждой части:
$x = 15 \cdot 5 = 75$
$y = 10 \cdot 5 = 50$
$z = 12 \cdot 5 = 60$

Проверим, что сумма частей равна 185:
$75 + 50 + 60 = 125 + 60 = 185$.
Условие выполнено.

Ответ: $x=75, y=50, z=60$.