Номер 1516, страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1516, страница 318.

Условие.

1516. Начертите на координатной плоскости отрезки $AB$ и $CD$ такие, что $A (1; -2)$, $B (4; 4)$, $C (5; -1)$, $D (-1; 1)$. Найдите координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит из двух частей: построение отрезков на координатной плоскости и нахождение координат точки их пересечения. Построение выполняется путем нанесения точек с заданными координатами и их соединения.

Для нахождения точных координат точки пересечения решим задачу аналитически. Сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки AB и CD.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Уравнение прямой AB

Подставим в формулу координаты точек A(1; -2) и B(4; 4):

$\frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{y - (-2)}{4 - (-2)}$

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{6}$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на 6:

$2(x - 1) = y + 2$

$2x - 2 = y + 2$

$y = 2x - 4$

Это уравнение прямой, содержащей отрезок AB.

Уравнение прямой CD

Подставим в формулу координаты точек C(5; -1) и D(-1; 1):

$\frac{x - 5}{-1 - 5} = \frac{y - (-1)}{1 - (-1)}$

$\frac{x - 5}{-6} = \frac{y + 1}{2}$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на -6:

$x - 5 = -3(y + 1)$

$x - 5 = -3y - 3$

$3y = -x + 2$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Это уравнение прямой, содержащей отрезок CD.

Нахождение координат точки пересечения

Точка пересечения является общим решением для обоих уравнений. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 2x - 4 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $y$:

$2x - 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3 \cdot (2x - 4) = 3 \cdot (-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3})$

$6x - 12 = -x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:

$6x + x = 12 + 2$

$7x = 14$

$x = 2$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x = 2$ в первое уравнение:

$y = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$

Таким образом, прямые AB и CD пересекаются в точке с координатами (2; 0). Осталось проверить, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам.

Для отрезка AB (A(1; -2), B(4; 4)): координата $x=2$ находится в интервале $[1, 4]$, а координата $y=0$ — в интервале $[-2, 4]$. Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке AB.

Для отрезка CD (C(5; -1), D(-1; 1)): координата $x=2$ находится в интервале $[-1, 5]$, а координата $y=0$ — в интервале $[-1, 1]$. Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке CD.

Поскольку точка принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: (2; 0).