Номер 1514, страница 318 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1514, страница 318.

Условие.

1514. Постройте фигуру, симметричную ломаной ABCD (рис. 317) относительно:

1) точки C;

2) точки D.

Рис. 317

Решение.

Решение 2.

Чтобы построить фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно некоторой точки (центра симметрии), необходимо построить точки, симметричные каждой из вершин ломаной ($A$, $B$, $C$, $D$), а затем соединить их в том же порядке. Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$.

1) точки C

Центром симметрии является точка $C$. Для построения искомой фигуры выполним следующие шаги:

1. Найдем точку $C'$, симметричную точке $C$. Так как точка $C$ является центром симметрии, ее симметричный образ — это она сама. Таким образом, $C' = C$.
2. Найдем точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно $C$. Для этого проведем луч $BC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CB'$, равный отрезку $BC$. Точка $B'$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $C$.
3. Найдем точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно $C$. Для этого проведем луч $DC$ и отложим на нем от точки $C$ отрезок $CD'$, равный отрезку $CD$. Точка $D'$ будет лежать на продолжении отрезка $DC$ за точку $C$.
4. Найдем точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно $C$. Для этого соединим точки $A$ и $C$ отрезком и проведем луч $AC$. На этом луче отложим от точки $C$ отрезок $CA'$, равный отрезку $AC$.
5. Последовательно соединим полученные точки. В результате получим ломаную $A'B'C'D'$, которая и является фигурой, симметричной ломаной $ABCD$ относительно точки $C$. Эта операция эквивалентна повороту ломаной $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $C$.

Ответ: Искомая фигура — это ломаная $A'B'C'D'$, полученная путем построения точек $A', B', D'$, симметричных соответственно точкам $A, B, D$ относительно точки $C$ (точка $C'$ совпадает с $C$), и их последовательного соединения.

2) точки D

Центром симметрии является точка $D$. Для построения искомой фигуры выполним следующие шаги:

1. Найдем точку $D''$, симметричную точке $D$. Так как точка $D$ является центром симметрии, ее симметричный образ — это она сама. Таким образом, $D'' = D$.
2. Найдем точку $C''$, симметричную точке $C$ относительно $D$. Для этого проведем луч $CD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DC''$, равный отрезку $CD$. Точка $C''$ будет лежать на продолжении отрезка $CD$ за точку $D$.
3. Найдем точку $A''$, симметричную точке $A$ относительно $D$. Для этого проведем луч $AD$ и отложим на нем от точки $D$ отрезок $DA''$, равный отрезку $AD$. Точка $A''$ будет лежать на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$.
4. Найдем точку $B''$, симметричную точке $B$ относительно $D$. Для этого соединим точки $B$ и $D$ отрезком и проведем луч $BD$. На этом луче отложим от точки $D$ отрезок $DB''$, равный отрезку $BD$.
5. Последовательно соединим полученные точки. В результате получим ломаную $A''B''C''D''$, которая и является фигурой, симметричной ломаной $ABCD$ относительно точки $D$. Эта операция эквивалентна повороту ломаной $ABCD$ на $180^\circ$ вокруг точки $D$.

Ответ: Искомая фигура — это ломаная $A''B''C''D''$, полученная путем построения точек $A'', B'', C''$, симметричных соответственно точкам $A, B, C$ относительно точки $D$ (точка $D''$ совпадает с $D$), и их последовательного соединения.