Номер 1505, страница 317 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 6 класса - номер 1505, страница 317.

Условие.

1505. Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличили на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую – уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала найдем начальную площадь прямоугольника. При сторонах 20 см и 10 см она составляет:
$S_0 = 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$.

Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

Рассмотрим один из возможных вариантов: увеличим сторону 20 см на 20% и уменьшим сторону 10 см на 20%.
Новая длина первой стороны: $a_1 = 20 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 20 \cdot 1,2 = 24$ см.
Новая длина второй стороны: $b_1 = 10 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 10 \cdot 0,8 = 8$ см.
Найдем новую площадь прямоугольника:
$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.
Сравним начальную и новую площади: $192 \text{ см}^2 < 200 \text{ см}^2$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшилась.
Найдем, на сколько процентов уменьшилась площадь. Абсолютное изменение составляет:
$\Delta S = S_0 - S_1 = 200 - 192 = 8 \text{ см}^2$.
Процентное изменение равно:
$\frac{\Delta S}{S_0} \cdot 100\% = \frac{8}{200} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.

Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую — уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Чтобы ответить на этот вопрос и обосновать полученный результат, решим задачу в общем виде.
Пусть начальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а процент изменения равен $p\%$.
Начальная площадь: $S = a \cdot b$.
Пусть сторону $a$ увеличили на $p\%$, а сторону $b$ уменьшили на $p\%$. Новые стороны будут равны:
$a' = a(1 + \frac{p}{100})$
$b' = b(1 - \frac{p}{100})$
Новая площадь $S'$ будет равна:
$S' = a' \cdot b' = a(1 + \frac{p}{100}) \cdot b(1 - \frac{p}{100}) = ab \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{p}{100}\right)$.
Так как умножение коммутативно, результат не изменится, если мы увеличим сторону $b$ и уменьшим сторону $a$. Таким образом, не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.
Теперь преобразуем выражение для новой площади, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$S' = ab \left(1^2 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) = ab \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$.
Поскольку $S = ab$, то $S' = S \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$.
Найдем процентное изменение площади:
$\frac{S' - S}{S} \cdot 100\% = \frac{S (1 - \frac{p^2}{10000}) - S}{S} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{p^2}{10000} - 1\right) \cdot 100\% = -\frac{p^2}{10000} \cdot 100\% = -\frac{p^2}{100}\%$.
Знак "минус" означает, что площадь всегда уменьшается (при $p > 0$). Для $p=20$ из условия задачи, уменьшение составит:
$\frac{20^2}{100}\% = \frac{400}{100}\% = 4\%$.
Это подтверждает расчет, сделанный для конкретных значений.

Ответ: Нет, не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили. Обоснование в общем виде показывает, что итоговая площадь зависит от произведения сторон (начальной площади), а не от их конкретных значений. В любом случае площадь уменьшится на $\frac{p^2}{100}\%$, что при $p=20$ составляет 4%.