Страница 317 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1495. Вася может вскопать огород за 12 ч, а Миша – за время, в 1,5 раза меньшее. За какое время Вася и Миша вскопают вместе $ \frac{5}{8} $ огорода?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем время, за которое Миша может вскопать огород. По условию, он тратит на это в 1,5 раза меньше времени, чем Вася:
$12 \text{ ч} : 1,5 = 8 \text{ ч}$

2. Определим, какую часть огорода каждый из них вскапывает за 1 час (их производительность). Весь огород примем за 1.
Производительность Васи: $1 : 12 = \frac{1}{12}$ огорода в час.
Производительность Миши: $1 : 8 = \frac{1}{8}$ огорода в час.

3. Найдем их совместную производительность, то есть какую часть огорода они вскопают вместе за 1 час:
$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}$ огорода в час.

4. Теперь рассчитаем, за какое время они вместе вскопают $\frac{5}{8}$ огорода. Для этого разделим необходимый объем работы на их совместную производительность:
$\frac{5}{8} : \frac{5}{24} = \frac{5}{8} \cdot \frac{24}{5} = \frac{24}{8} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

1496. Через одну трубу бассейн можно наполнить за 7 ч, а вылить всю воду можно через другую трубу за 8 ч. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно открыть обе трубы?

Для решения данной задачи примем весь объем бассейна за 1.

1. Определим производительность (скорость работы) каждой трубы.
Первая труба наполняет бассейн за 7 часов, значит, ее производительность составляет $\frac{1}{7}$ часть бассейна в час.
Вторая труба опорожняет бассейн за 8 часов, ее производительность составляет $\frac{1}{8}$ часть бассейна в час.

2. Найдем общую производительность при одновременной работе двух труб.
Поскольку первая труба наполняет бассейн, а вторая выливает из него воду, их производительности вычитаются.
Общая скорость наполнения = (скорость наполнения) - (скорость слива):
$\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 56:
$\frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{1}{56}$
Это значит, что за 1 час совместной работы обеих труб бассейн наполнится на $\frac{1}{56}$ своего объема.

3. Рассчитаем общее время наполнения бассейна.
Чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн (т.е. вся работа, равная 1), нужно разделить работу на общую производительность:
$t = 1 \div \frac{1}{56} = 1 \cdot 56 = 56$ часов.

Ответ: 56 часов.

1497. Ворона и Лисица могут съесть вместе головку сыра за 8 мин. За сколько минут может съесть эту головку сыра Лисица, если Ворона может сделать это за 18 мин?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием "производительность" (скорость выполнения работы). Примем всю работу, то есть одну головку сыра, за 1.

1. Найдем производительность Вороны.
Ворона съедает всю головку сыра за 18 минут. Значит, ее производительность (скорость поедания) равна $P_В = \frac{1}{18}$ головки сыра в минуту.

2. Найдем совместную производительность Вороны и Лисицы.
Вместе они съедают головку сыра за 8 минут. Их совместная производительность равна $P_{В+Л} = \frac{1}{8}$ головки сыра в минуту.

3. Найдем производительность Лисицы.
Совместная производительность равна сумме индивидуальных производительностей: $P_{В+Л} = P_В + P_Л$.
Чтобы найти производительность Лисицы ($P_Л$), нужно из совместной производительности вычесть производительность Вороны:
$P_Л = P_{В+Л} - P_В$
Подставим известные значения:
$P_Л = \frac{1}{8} - \frac{1}{18}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 18 это 72.
$P_Л = \frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{9}{72} - \frac{4}{72} = \frac{5}{72}$
Таким образом, производительность Лисицы составляет $\frac{5}{72}$ головки сыра в минуту.

4. Найдем время, за которое Лисица съест головку сыра.
Время ($t_Л$) можно найти, разделив всю работу (1) на производительность Лисицы ($P_Л$):
$t_Л = \frac{1}{P_Л} = \frac{1}{\frac{5}{72}} = \frac{72}{5}$
Преобразуем неправильную дробь в десятичную:
$t_Л = 14,4$ минуты.

Ответ: Лисица может съесть головку сыра за 14,4 минуты.

1498. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через $3\frac{1}{5}$ ч после выезда. Один из них проезжает расстояние между городами за $5\frac{1}{3}$ ч. За какое время преодолеет это расстояние другой велосипедист?

Для решения этой задачи примем все расстояние между городами за 1 (одну целую) единицу. Скорость каждого велосипедиста будем измерять в долях этого расстояния, преодолеваемых за час.

1. Определим скорость (производительность) первого велосипедиста.

Известно, что первый велосипедист проезжает все расстояние за $5 \frac{1}{3}$ часа. Переведем это время в неправильную дробь:

$t_1 = 5 \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Скорость первого велосипедиста $v_1$ — это часть расстояния, которую он преодолевает за 1 час. Она равна:

$v_1 = 1 \div t_1 = 1 \div \frac{16}{3} = 1 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$ всего расстояния в час.

2. Определим общую скорость сближения велосипедистов.

Велосипедисты встретились через $3 \frac{1}{5}$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние. Переведем время встречи в неправильную дробь:

$t_{встр} = 3 \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$ ч.

Их общая скорость сближения $v_{общ}$ — это часть расстояния, которую они преодолевают вместе за 1 час:

$v_{общ} = 1 \div t_{встр} = 1 \div \frac{16}{5} = 1 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{16}$ всего расстояния в час.

3. Определим скорость второго велосипедиста.

Скорость сближения равна сумме скоростей двух велосипедистов ($v_{общ} = v_1 + v_2$). Чтобы найти скорость второго велосипедиста $v_2$, нужно из общей скорости вычесть скорость первого:

$v_2 = v_{общ} - v_1 = \frac{5}{16} - \frac{3}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ всего расстояния в час.

4. Найдем время, за которое второй велосипедист преодолеет все расстояние.

Теперь, зная скорость второго велосипедиста ($v_2 = \frac{1}{8}$ расстояния в час), мы можем найти время $t_2$, за которое он проедет все расстояние (1):

$t_2 = 1 \div v_2 = 1 \div \frac{1}{8} = 1 \cdot 8 = 8$ ч.

Ответ: 8 часов.

1499. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 12 ч, а через вторую – за 24 ч. После нескольких часов наполнения бассейна через обе трубы первую трубу закрыли. Остальной объём бассейна наполняли 9 ч через вторую трубу. Сколько всего часов была открыта вторая труба?

Примем весь объем бассейна за 1.

1. Найдем производительность (скорость наполнения) каждой трубы:

• Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{12}$ бассейна/час.
• Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{24}$ бассейна/час.

2. Найдем совместную производительность двух труб, когда они работают вместе:

$P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ бассейна/час.

3. По условию, после совместной работы, вторая труба одна наполняла остальной объем бассейна в течение 9 часов. Найдем, какую часть бассейна она наполнила за это время:

$V_2 = P_2 \times t_2 = \frac{1}{24} \times 9 = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ бассейна.

4. Теперь найдем, какая часть бассейна была наполнена, когда обе трубы работали вместе. Для этого из всего объема бассейна вычтем объем, наполненный второй трубой в одиночку:

$V_{1+2} = 1 - V_2 = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ бассейна.

5. Определим, сколько времени ($t_{1+2}$) обе трубы работали вместе, чтобы наполнить $\frac{5}{8}$ бассейна:

$t_{1+2} = \frac{V_{1+2}}{P_{1+2}} = \frac{5/8}{1/8} = 5$ часов.

6. Вопрос задачи — сколько всего часов была открыта вторая труба. Вторая труба была открыта, когда работала вместе с первой, и когда работала одна. Сложим это время:

$T_{общ. 2} = t_{1+2} + t_2 = 5 + 9 = 14$ часов.

Ответ: 14 часов.

1500. Длина детали на чертеже, выполненном в масштабе $1 : 30$, равна 2,5 см.

Какой будет длина этой детали на чертеже, масштаб которого $1 : 50$?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти реальный размер детали, используя данные первого чертежа, а затем рассчитать, какой будет длина этой детали на чертеже с другим масштабом.

1. Найдём реальную длину детали.
Масштаб первого чертежа составляет 1:30. Это означает, что 1 см на чертеже соответствует 30 см в реальности. Длина детали на этом чертеже равна 2,5 см. Чтобы найти её действительную длину, умножим длину на чертеже на масштабный коэффициент:
$2,5 \text{ см} \times 30 = 75 \text{ см}$
Таким образом, реальная длина детали — 75 см.

2. Найдём длину детали на чертеже с новым масштабом.
Масштаб второго чертежа — 1:50. Это означает, что реальный размер детали в 50 раз больше её изображения на чертеже. Чтобы найти длину детали на этом чертеже, нужно её реальную длину разделить на масштабный коэффициент:
$L = \frac{75 \text{ см}}{50} = 1,5 \text{ см}$

Ответ: 1,5 см.

1501. Уменьшаемое на 20 % больше вычитаемого. Сколько процентов уменьшаемого составляет разность?

Обозначим уменьшаемое как $У$, вычитаемое как $В$, а их разность как $Р$.

Согласно определению, разность вычисляется по формуле:
$Р = У - В$

Из условия задачи известно, что уменьшаемое на 20% больше вычитаемого. Это означает, что уменьшаемое составляет 100% + 20% = 120% от вычитаемого. Запишем это в виде математического соотношения:
$У = В + 0.2 \cdot В = 1.2 \cdot В$

Нам необходимо найти, какой процент от уменьшаемого ($У$) составляет разность ($Р$). Для этого нужно вычислить отношение $\frac{Р}{У}$ и умножить его на 100%.

Чтобы найти это отношение, выразим разность $Р$ через уменьшаемое $У$. Для этого сначала выразим вычитаемое $В$ через $У$ из второго уравнения:
$В = \frac{У}{1.2}$

Теперь подставим полученное выражение для $В$ в формулу разности:
$Р = У - В = У - \frac{У}{1.2}$

Упростим это выражение. Представим $1.2$ в виде обыкновенной дроби: $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$Р = У - \frac{У}{6/5} = У - У \cdot \frac{5}{6}$
Вынесем $У$ за скобки:
$Р = У \cdot (1 - \frac{5}{6}) = У \cdot (\frac{6}{6} - \frac{5}{6}) = У \cdot \frac{1}{6}$

Теперь мы знаем, что разность составляет $\frac{1}{6}$ от уменьшаемого. Чтобы найти, сколько это в процентах, умножим эту долю на 100%:
$\frac{Р}{У} \cdot 100\% = \frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = \frac{50}{3}\% = 16\frac{2}{3}\%$

Ответ: $16\frac{2}{3}\%$.

1502. Кофейные зёрна в процессе поджаривания теряют 12 % своей массы.

Сколько нужно взять свежих зёрен, чтобы получить 6,6 кг жареных?

Пусть $x$ — это начальная масса свежих кофейных зёрен в килограммах.

В процессе поджаривания зёрна теряют 12% своей массы. Это означает, что после обжарки остаётся $100\% - 12\% = 88\%$ от первоначальной массы.

Переведём проценты в десятичную дробь: $88\% = \frac{88}{100} = 0,88$.

Таким образом, масса жареных зёрен составляет $0,88$ от массы свежих зёрен. Мы можем составить уравнение, где масса жареных зёрен равна $0,88x$.

По условию задачи, нам нужно получить 6,6 кг жареных зёрен. Следовательно, наше уравнение будет выглядеть так:

$0,88x = 6,6$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 6,6 на 0,88:

$x = \frac{6,6}{0,88}$

Для удобства вычислений избавимся от дробей в числителе и знаменателе, умножив оба на 100:

$x = \frac{6,6 \cdot 100}{0,88 \cdot 100} = \frac{660}{88}$

Теперь сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 22:

$x = \frac{660 \div 22}{88 \div 22} = \frac{30}{4}$

$x = 7,5$

Следовательно, чтобы получить 6,6 кг жареных зёрен, необходимо взять 7,5 кг свежих зёрен.

Ответ: 7,5 кг.

1503. Во время сушки хлеба на сухари его масса уменьшилась на $35\%$.

Сколько получится килограммов сухарей из 120 кг свежего хлеба?

Чтобы решить задачу, необходимо найти массу сухарей, которая останется после усушки 120 кг свежего хлеба.

Изначальная масса хлеба составляет 120 кг, что мы принимаем за 100%.

По условию, масса хлеба при сушке уменьшилась на 35%. Это значит, что масса сухарей составит $100\% - 35\% = 65\%$ от массы свежего хлеба.

Теперь найдем, сколько килограммов составляют эти 65%. Для этого можно составить пропорцию или перевести проценты в десятичную дробь и умножить на начальную массу.

Способ 1: Через нахождение оставшегося процента

1. Найдем, какой процент от начальной массы остался после сушки:

$100\% - 35\% = 65\%$

2. Переведем 65% в десятичную дробь:

$65\% = \frac{65}{100} = 0.65$

3. Вычислим массу сухарей, умножив начальную массу хлеба на полученную долю:

$120 \text{ кг} \times 0.65 = 78 \text{ кг}$

Способ 2: Через вычисление потери массы

1. Найдем, сколько килограммов хлеба было потеряно при сушке (35% от 120 кг):

$120 \text{ кг} \times \frac{35}{100} = 120 \times 0.35 = 42 \text{ кг}$

2. Вычтем потерю массы из начальной массы, чтобы найти массу сухарей:

$120 \text{ кг} - 42 \text{ кг} = 78 \text{ кг}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 78 кг.

1504. Собрали 15 кг белых грибов. В отходы пошло 30 % массы грибов при подготовке их к сушке, а во время сушки остававшаяся часть грибов потеряла 76 % своей массы. Сколько сушеных грибов получили?

Для решения задачи нужно выполнить два последовательных действия.

1. Сначала определим массу грибов после их подготовки к сушке. Изначально было 15 кг грибов. При подготовке в отходы пошло 30% массы. Значит, для сушки осталось:

$100\% - 30\% = 70\%$

Найдем массу грибов, оставшихся после подготовки:

$15 \text{ кг} \times \frac{70}{100} = 15 \times 0.7 = 10.5 \text{ кг}$

2. Теперь найдем итоговую массу сушеных грибов. Во время сушки 10,5 кг грибов потеряли 76% своей массы. Следовательно, масса сушеных грибов составляет:

$100\% - 76\% = 24\%$

от массы грибов, заложенных в сушку. Вычислим эту массу:

$10.5 \text{ кг} \times \frac{24}{100} = 10.5 \times 0.24 = 2.52 \text{ кг}$

Ответ: 2,52 кг.

1505. Стороны прямоугольника равны 20 см и 10 см. Одну сторону увеличили на 20 %, а соседнюю уменьшили на 20 %. Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов? Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую – уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Для решения задачи сначала найдем начальную площадь прямоугольника. При сторонах 20 см и 10 см она составляет:
$S_0 = 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$.

Увеличилась или уменьшилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

Рассмотрим один из возможных вариантов: увеличим сторону 20 см на 20% и уменьшим сторону 10 см на 20%.
Новая длина первой стороны: $a_1 = 20 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 20 \cdot 1,2 = 24$ см.
Новая длина второй стороны: $b_1 = 10 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 10 \cdot 0,8 = 8$ см.
Найдем новую площадь прямоугольника:
$S_1 = a_1 \cdot b_1 = 24 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 192 \text{ см}^2$.
Сравним начальную и новую площади: $192 \text{ см}^2 < 200 \text{ см}^2$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшилась.
Найдем, на сколько процентов уменьшилась площадь. Абсолютное изменение составляет:
$\Delta S = S_0 - S_1 = 200 - 192 = 8 \text{ см}^2$.
Процентное изменение равно:
$\frac{\Delta S}{S_0} \cdot 100\% = \frac{8}{200} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: Площадь прямоугольника уменьшилась на 4%.

Имеет ли значение, какую сторону увеличили, а какую — уменьшили? Ответ обоснуйте, решив задачу в общем виде.

Чтобы ответить на этот вопрос и обосновать полученный результат, решим задачу в общем виде.
Пусть начальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а процент изменения равен $p\%$.
Начальная площадь: $S = a \cdot b$.
Пусть сторону $a$ увеличили на $p\%$, а сторону $b$ уменьшили на $p\%$. Новые стороны будут равны:
$a' = a(1 + \frac{p}{100})$
$b' = b(1 - \frac{p}{100})$
Новая площадь $S'$ будет равна:
$S' = a' \cdot b' = a(1 + \frac{p}{100}) \cdot b(1 - \frac{p}{100}) = ab \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{p}{100}\right)$.
Так как умножение коммутативно, результат не изменится, если мы увеличим сторону $b$ и уменьшим сторону $a$. Таким образом, не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили.
Теперь преобразуем выражение для новой площади, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$S' = ab \left(1^2 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) = ab \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$.
Поскольку $S = ab$, то $S' = S \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$.
Найдем процентное изменение площади:
$\frac{S' - S}{S} \cdot 100\% = \frac{S (1 - \frac{p^2}{10000}) - S}{S} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{p^2}{10000} - 1\right) \cdot 100\% = -\frac{p^2}{10000} \cdot 100\% = -\frac{p^2}{100}\%$.
Знак "минус" означает, что площадь всегда уменьшается (при $p > 0$). Для $p=20$ из условия задачи, уменьшение составит:
$\frac{20^2}{100}\% = \frac{400}{100}\% = 4\%$.
Это подтверждает расчет, сделанный для конкретных значений.

Ответ: Нет, не имеет значения, какую сторону увеличили, а какую уменьшили. Обоснование в общем виде показывает, что итоговая площадь зависит от произведения сторон (начальной площади), а не от их конкретных значений. В любом случае площадь уменьшится на $\frac{p^2}{100}\%$, что при $p=20$ составляет 4%.

1506. Одна сторона прямоугольника на 30 % больше стороны квадрата, а соседняя – на 30 % меньше стороны этого квадрата. Найдите процентное отношение площади прямоугольника к площади квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_{кв}$ составляет $a^2$.
По условию, одна сторона прямоугольника на 30% больше стороны квадрата. Найдем ее длину. Увеличение на 30% означает умножение на коэффициент $1 + \frac{30}{100} = 1.3$. Таким образом, длина первой стороны прямоугольника равна $1.3a$.
Соседняя сторона прямоугольника на 30% меньше стороны квадрата. Найдем ее длину. Уменьшение на 30% означает умножение на коэффициент $1 - \frac{30}{100} = 0.7$. Таким образом, длина второй стороны прямоугольника равна $0.7a$.
Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна произведению его сторон:
$S_{пр} = (1.3a) \times (0.7a) = 0.91a^2$.
Чтобы найти процентное отношение площади прямоугольника к площади квадрата, нужно найти отношение их площадей и выразить его в процентах:
$\frac{S_{пр}}{S_{кв}} = \frac{0.91a^2}{a^2} = 0.91$.
Для перевода в проценты умножим полученное отношение на 100%:
$0.91 \times 100\% = 91\%$.
Следовательно, площадь прямоугольника составляет 91% от площади квадрата.
Ответ: 91%.

1507. Периметр прямоугольника равен 76 см. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны пропорциональны числам 15 и 4.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. По условию, они пропорциональны числам 15 и 4. Это значит, что их можно представить через коэффициент пропорциональности k:

$a = 15k$

$b = 4k$

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Зная, что периметр равен 76 см, составим уравнение:

$2(15k + 4k) = 76$

Решим это уравнение, чтобы найти значение k:

$2(19k) = 76$

$38k = 76$

$k = \frac{76}{38}$

$k = 2$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдем длины сторон прямоугольника:

Длина: $a = 15k = 15 \cdot 2 = 30$ см.

Ширина: $b = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Площадь прямоугольника (S) равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$.

$S = 30 \cdot 8 = 240$ см².

Ответ: 240 см².

1508. Найдите такие значения $x$ и $y$, при которых каждое из равенств$\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$ и $\frac{8}{3} = \frac{y}{x}$ будет верным.

Для нахождения значений x и y необходимо решить два уравнения, представленных в виде пропорций, последовательно.

1. Найдем значение x из первого равенства.

Рассмотрим первое равенство: $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$.

Это пропорция. Для нахождения неизвестного члена x воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения), согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$x \cdot 4 = 12 \cdot 3$

$4x = 36$

Теперь найдем x, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{36}{4}$

$x = 9$

Ответ: $x = 9$.

2. Найдем значение y из второго равенства.

Рассмотрим второе равенство: $\frac{8}{3} = \frac{y}{x}$.

Мы уже нашли, что $x = 9$. Подставим это значение в данную пропорцию:

$\frac{8}{3} = \frac{y}{9}$

Снова применим основное свойство пропорции:

$8 \cdot 9 = 3 \cdot y$

$72 = 3y$

Найдем y, разделив обе части уравнения на 3:

$y = \frac{72}{3}$

$y = 24$

Ответ: $y = 24$.