Страница 311 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

1466. Велосипедист выехал из дома на прогулку. Сначала он ехал 2 ч со скоростью $12 \text{ км/ч}$, а потом отдохнул час и возвращался домой со скоростью $8 \text{ км/ч}$. Постройте график движения велосипедиста.

Для построения графика движения велосипедиста необходимо определить зависимость расстояния от дома ($S$) от времени ($t$). Разобьем весь путь на три этапа и найдем координаты ключевых точек графика.

1. Движение от дома.Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч. Найдем расстояние, которое он проехал за это время, по формуле $S = v \cdot t$:$S_1 = 12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км}$.Таким образом, за первые 2 часа велосипедист удалился от дома на 24 км. График на этом участке представляет собой отрезок, соединяющий начальную точку (0; 0) и точку (2; 24).

2. Отдых.Велосипедист отдыхал 1 час. Во время отдыха его скорость была равна нулю, а расстояние от дома не менялось. Этот этап начался в момент времени $t = 2$ ч и закончился в $t = 2 + 1 = 3$ ч. Расстояние от дома всё это время составляло 24 км. На графике это горизонтальный отрезок, соединяющий точки (2; 24) и (3; 24).

3. Возвращение домой.Велосипедист возвращался домой со скоростью 8 км/ч. Ему нужно было проехать расстояние 24 км. Найдем время, которое он затратил на обратный путь:$t_3 = \frac{S_1}{v_{возвр}} = \frac{24 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.Этот этап начался в момент времени $t = 3$ ч и длился 3 часа, то есть закончился в $t = 3 + 3 = 6$ ч. За это время расстояние от дома уменьшилось с 24 км до 0. На графике этот участок — отрезок, соединяющий точки (3; 24) и (6; 0).

Соединив последовательно все полученные точки на координатной плоскости, мы получим график движения велосипедиста. По оси абсцисс откладывается время $t$ в часах, а по оси ординат — расстояние от дома $S$ в километрах.

Ответ: График движения представляет собой ломаную линию, соединяющую последовательно точки с координатами (0; 0), (2; 24), (3; 24) и (6; 0). Ось абсцисс — время в часах (t), ось ординат — расстояние от дома в километрах (S).

1467. Постройте график зависимости переменной y от переменной x, которая задаётся формулой $y = -2x$.

Чтобы построить график зависимости переменной $y$ от переменной $x$, заданной формулой $y = -2x$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить тип функции. Формула $y = -2x$ задает линейную функцию, которая является частным случаем функции $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -2$, а свободный член $b = 0$. Графиком любой линейной функции является прямая линия.

2. Найти координаты двух точек, через которые проходит прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выберем два произвольных значения $x$ и вычислим соответствующие им значения $y$.

   • Пусть $x = 0$. Тогда $y = -2 \cdot 0 = 0$. Первая точка имеет координаты $(0; 0)$. Это означает, что график проходит через начало координат.

   • Пусть $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Вторая точка имеет координаты $(1; -2)$.

3. Составим таблицу значений для наглядности:

   $x$	0	1
   $y = -2x$	0	-2

4. Построить график. Для этого начертим систему координат $xOy$. Отметим на ней найденные точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$. Затем проведем через эти две точки прямую линию. Эта линия и является графиком функции $y = -2x$.

Так как угловой коэффициент $k = -2$ отрицательный, график функции является убывающим и располагается во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции $y = -2x$ является прямая линия, проходящая через начало координат, точку $(0; 0)$, и точку $(1; -2)$.

1468. Постройте график зависимости переменной y от переменной x, которая задаётся формулой $y = 3x$.

Заданная формула $y = 3x$ является уравнением прямой пропорциональности, которая является частным случаем линейной функции вида $y = kx+b$, где угловой коэффициент $k=3$ и $b=0$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Составим таблицу значений для двух точек:

• Примем значение $x = 0$. Тогда значение $y$ будет равно: $y = 3 \cdot 0 = 0$. Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 0)$.
• Примем значение $x = 1$. Тогда значение $y$ будет равно: $y = 3 \cdot 1 = 3$. Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, 3)$.

Теперь нужно отметить точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$ на координатной плоскости и провести через них прямую линию. Эта линия и будет являться графиком зависимости $y=3x$.

График функции $y = 3x$:

Ответ: График зависимости, заданной формулой $y=3x$, построен и представлен на рисунке выше.

1469.При приготовлении яблочного варенья на 1 кг яблок расходуется 1 кг 200 г сахара. Какое наименьшее количество упаковок сахара по 1 кг нужно купить, чтобы сварить варенье из 6 кг яблок?

Для начала определим, сколько сахара требуется для приготовления варенья из 6 кг яблок. По условию, на 1 кг яблок уходит 1 кг 200 г сахара.

Переведем 1 кг 200 г в килограммы: $1 \text{ кг } 200 \text{ г} = 1 + \frac{200}{1000} \text{ кг} = 1.2 \text{ кг}$.

Теперь вычислим общее количество сахара, необходимое для 6 кг яблок. Для этого умножим количество сахара на 1 кг яблок на общее количество яблок: $1.2 \text{ кг} \times 6 = 7.2 \text{ кг}$.

Сахар продается в упаковках по 1 кг. Чтобы найти необходимое количество упаковок, нужно разделить общую массу требуемого сахара на массу сахара в одной упаковке. $\frac{7.2 \text{ кг}}{1 \text{ кг}} = 7.2$.

Так как в магазине нельзя купить 0.2 упаковки, необходимо приобрести целое количество упаковок. Семи упаковок (7 кг) будет недостаточно, поэтому нужно округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого. Наименьшее количество упаковок, которое нужно купить, — 8.

Ответ: 8.

1470. У почтальона есть три разных конверта и четыре разные почтовые марки. Сколько у него вариантов выбора конверта с маркой?

Для того чтобы найти общее количество вариантов выбора конверта с маркой, необходимо использовать правило умножения в комбинаторике. Согласно этому правилу, если объект A можно выбрать $n$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $m$ способами, то выбор пары (A, B) в указанном порядке можно осуществить $n \times m$ способами.

В данной задаче у нас есть два независимых выбора:

• Выбор конверта. Количество вариантов для выбора конверта равно 3, так как имеется три разных конверта.
• Выбор марки. Количество вариантов для выбора марки равно 4, так как имеется четыре разные марки.

Чтобы найти общее количество вариантов, нужно перемножить число способов выбора конверта на число способов выбора марки.

Общее количество вариантов = (Количество конвертов) $\times$ (Количество марок)

Вычисляем: $3 \times 4 = 12$.

Следовательно, у почтальона есть 12 вариантов выбора конверта с маркой.

Ответ: 12.

1471. Вася сначала прочитал 24 % страниц книги, а потом ещё $\frac{7}{15}$ страниц книги. После этого ему осталось прочитать 44 страницы. Сколько страниц в книге?

Пусть $x$ — общее количество страниц в книге.

Сначала найдем, какую часть книги Вася прочитал в общей сложности. Для этого нужно сложить обе части, которые он прочитал. Первую часть, выраженную в процентах, переведем в обыкновенную дробь:
$24\% = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$

Теперь сложим обе части, чтобы найти общую прочитанную долю книги. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{6}{25} + \frac{7}{15} = \frac{6 \cdot 3}{75} + \frac{7 \cdot 5}{75} = \frac{18}{75} + \frac{35}{75} = \frac{18 + 35}{75} = \frac{53}{75}$

Таким образом, Вася прочитал $\frac{53}{75}$ всей книги. Теперь найдем, какая часть книги осталась непрочитанной. Для этого вычтем из единицы (вся книга) прочитанную часть:
$1 - \frac{53}{75} = \frac{75}{75} - \frac{53}{75} = \frac{22}{75}$

Из условия задачи известно, что оставшаяся часть книги составляет 44 страницы. Следовательно, $\frac{22}{75}$ от общего числа страниц ($x$) равны 44. Составим и решим уравнение:
$\frac{22}{75}x = 44$
$x = 44 \div \frac{22}{75}$
$x = 44 \cdot \frac{75}{22}$
$x = \frac{44 \cdot 75}{22} = 2 \cdot 75 = 150$

Значит, в книге всего 150 страниц.
Ответ: 150 страниц.

1472. Найдите значение выражения:

1) $a : b - ab$, если $a = -0,5$, $b = \frac{2}{3}$;

2) $\frac{b+c}{b-c}$, если $b = \frac{2}{7}$, $c = -\frac{4}{9}$;

3) $\frac{x^2+y^2}{x-y}$, если $x = -0,3$, $y = -0,4$.

1) Подставим значения $a = -0,5$ и $b = \frac{2}{3}$ в выражение $a : b - ab$.
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной дроби: $a = -0,5 = -\frac{1}{2}$.
Выражение примет вид: $(-\frac{1}{2}) : \frac{2}{3} - (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{3}$.
Выполним действия по порядку:
1. Деление: $a : b = -\frac{1}{2} : \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$.
2. Умножение: $ab = (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
3. Вычитание: $(-\frac{3}{4}) - (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + \frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{-9 + 4}{12} = -\frac{5}{12}$.
Ответ: $-\frac{5}{12}$.

2) Подставим значения $b = \frac{2}{7}$ и $c = -\frac{4}{9}$ в выражение $\frac{b + c}{b - c}$.
Сначала вычислим значение числителя $b + c$:
$b + c = \frac{2}{7} + (-\frac{4}{9}) = \frac{2}{7} - \frac{4}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 63:
$\frac{2 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{18}{63} - \frac{28}{63} = \frac{18 - 28}{63} = -\frac{10}{63}$.
Теперь вычислим значение знаменателя $b - c$:
$b - c = \frac{2}{7} - (-\frac{4}{9}) = \frac{2}{7} + \frac{4}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 63:
$\frac{2 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{18}{63} + \frac{28}{63} = \frac{18 + 28}{63} = \frac{46}{63}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{b + c}{b - c} = \frac{-\frac{10}{63}}{\frac{46}{63}} = -\frac{10}{63} : \frac{46}{63} = -\frac{10}{63} \cdot \frac{63}{46} = -\frac{10}{46}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$-\frac{10 : 2}{46 : 2} = -\frac{5}{23}$.
Ответ: $-\frac{5}{23}$.

3) Подставим значения $x = -0,3$ и $y = -0,4$ в выражение $\frac{x^2 + y^2}{x - y}$.
Сначала вычислим значение числителя $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (-0,3)^2 + (-0,4)^2 = 0,09 + 0,16 = 0,25$.
Теперь вычислим значение знаменателя $x - y$:
$x - y = (-0,3) - (-0,4) = -0,3 + 0,4 = 0,1$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{x^2 + y^2}{x - y} = \frac{0,25}{0,1}$.
Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
$\frac{0,25 \cdot 10}{0,1 \cdot 10} = \frac{2,5}{1} = 2,5$.
Ответ: $2,5$.

1473. В каждую клетку квадрата размером $6 \times 6$ клеток вписали одно из чисел $-1, 0, 1$. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Рассмотрим квадрат размером $6 \times 6$. В этом квадрате мы вычисляем суммы чисел в 6 строках, 6 столбцах и 2 больших диагоналях. Общее количество сумм, которые мы должны рассмотреть, равно $6 + 6 + 2 = 14$.

Каждая из этих сумм является результатом сложения 6 чисел. Каждое число в клетке может быть $-1$, $0$ или $1$. Давайте определим, какие значения могут принимать эти суммы.

Минимальное возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел в строке (столбце или диагонали) равны $-1$. В этом случае сумма будет равна $6 \times (-1) = -6$.

Максимальное возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел равны $1$. В этом случае сумма будет равна $6 \times 1 = 6$.

Следовательно, любая из 14 сумм должна быть целым числом в диапазоне от $-6$ до $6$ включительно.

Посчитаем количество различных целых чисел в этом диапазоне: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего таких чисел 13.

Нам нужно, чтобы все 14 сумм были различными. Однако у нас есть только 13 возможных уникальных значений для этих сумм. Согласно принципу Дирихле, если у нас есть 14 "предметов" (наши суммы) и 13 "коробок" (возможные значения), то по крайней мере два предмета должны попасть в одну и ту же коробку.

Это означает, что как минимум две из 14 вычисленных сумм обязательно будут равны между собой. Таким образом, невозможно, чтобы все суммы были различными.

Ответ: Нет, не могут.