Номер 1473, страница 311 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 43. Графики. Глава 4. Рациональные числа - номер 1473, страница 311.

Условие.

1473. В каждую клетку квадрата размером $6 \times 6$ клеток вписали одно из чисел $-1, 0, 1$. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим квадрат размером $6 \times 6$. В этом квадрате мы вычисляем суммы чисел в 6 строках, 6 столбцах и 2 больших диагоналях. Общее количество сумм, которые мы должны рассмотреть, равно $6 + 6 + 2 = 14$.

Каждая из этих сумм является результатом сложения 6 чисел. Каждое число в клетке может быть $-1$, $0$ или $1$. Давайте определим, какие значения могут принимать эти суммы.

Минимальное возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел в строке (столбце или диагонали) равны $-1$. В этом случае сумма будет равна $6 \times (-1) = -6$.

Максимальное возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел равны $1$. В этом случае сумма будет равна $6 \times 1 = 6$.

Следовательно, любая из 14 сумм должна быть целым числом в диапазоне от $-6$ до $6$ включительно.

Посчитаем количество различных целых чисел в этом диапазоне: $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Всего таких чисел 13.

Нам нужно, чтобы все 14 сумм были различными. Однако у нас есть только 13 возможных уникальных значений для этих сумм. Согласно принципу Дирихле, если у нас есть 14 "предметов" (наши суммы) и 13 "коробок" (возможные значения), то по крайней мере два предмета должны попасть в одну и ту же коробку.

Это означает, что как минимум две из 14 вычисленных сумм обязательно будут равны между собой. Таким образом, невозможно, чтобы все суммы были различными.

Ответ: Нет, не могут.