Номер 195, страница 293 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 195, страница 293.

Условие.

195. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится, если доход начисляется по формуле сложных процентов?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи используется формула сложных процентов, которая показывает, как будет расти вложенная сумма с течением времени при ежегодном начислении процентов на всю имеющуюся сумму (включая ранее начисленные проценты).

Формула сложных процентов выглядит так:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет;
• $S_0$ — первоначальная вложенная сумма;
• $p$ — годовая процентная ставка (в нашем случае 20%);
• $n$ — количество лет.

По условию задачи, мы хотим найти, через сколько лет $n$ вложенная сумма $S_0$ удвоится. Это означает, что итоговая сумма $S_n$ должна быть равна $2S_0$.

Подставим известные значения в формулу:

$2S_0 = S_0 \cdot (1 + \frac{20}{100})^n$

Мы можем сократить $S_0$ в обеих частях уравнения (поскольку начальная сумма не равна нулю):

$2 = (1 + \frac{20}{100})^n$

$2 = (1 + 0.2)^n$

$2 = (1.2)^n$

Теперь нам нужно найти значение $n$, при котором $1.2$, возведенное в степень $n$, будет равно 2. Это можно сделать методом подбора, проверяя целые значения $n$, так как проценты начисляются ежегодно.

• При $n = 1$ год: $1.2^1 = 1.2$ (сумма увеличилась на 20%, но не удвоилась).
• При $n = 2$ года: $1.2^2 = 1.44$ (сумма увеличилась на 44%, но не удвоилась).
• При $n = 3$ года: $1.2^3 = 1.728$ (сумма увеличилась на 72.8%, но еще не удвоилась).
• При $n = 4$ года: $1.2^4 = 2.0736$ (сумма увеличилась более чем в два раза).

Из расчетов видно, что по окончании 3 лет сумма еще не достигнет удвоенного размера. Удвоение произойдет только после начисления процентов за четвертый год.

Таким образом, для удвоения вложенной суммы должно пройти 4 полных года.

Для более точного расчета можно было бы использовать логарифмы:

$n = \log_{1.2}(2) = \frac{\ln(2)}{\ln(1.2)} \approx \frac{0.693}{0.182} \approx 3.8$ лет.

Поскольку проценты начисляются один раз в конце года, то необходимо дождаться окончания 4-го года, чтобы сумма удвоилась.

Ответ: 4 года.