Страница 293 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

187. Найдите число, 18 % которого равны 720.

Чтобы найти число по его проценту, нужно значение, соответствующее этому проценту, разделить на сам процент, выраженный в виде десятичной дроби.
Пусть искомое число равно x . Согласно условию, 18% от числа x равны 720.

Шаг 1: Преобразование процентов в дробь
Для проведения вычислений необходимо перевести проценты в десятичную дробь. Для этого разделим значение процента на 100:
$18\% = \frac{18}{100} = 0.18$

Шаг 2: Составление уравнения
Исходя из условия, мы можем составить уравнение, где произведение числа x на его долю (0.18) равно 720:
$0.18 \cdot x = 720$

Шаг 3: Решение уравнения
Чтобы найти x , нужно разделить 720 на 0.18:
$x = \frac{720}{0.18}$

Шаг 4: Вычисление
Для удобства расчетов можно избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{720 \cdot 100}{0.18 \cdot 100} = \frac{72000}{18}$
Теперь выполним деление:
$x = 4000$

Проверка:
Найдем 18% от полученного числа 4000, чтобы убедиться в правильности решения:
$4000 \cdot 0.18 = 720$
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 4000

188. Из посаженных семян подсолнечника взошло 176 семян, что составило $88\%$ от числа посаженных. Сколько семян подсолнечника было посажено?

Для решения этой задачи нам нужно найти число, если известна его часть и процент, который эта часть составляет. В данном случае, 176 семян — это 88% от общего числа посаженных семян.

Обозначим искомое общее количество посаженных семян за $x$. Это количество соответствует 100%.

Есть несколько способов решения.

Способ 1: Через пропорцию

Составим пропорциональное соотношение:

176 семян — это 88%
$x$ семян — это 100%

Из пропорции получаем уравнение:

$\frac{176}{x} = \frac{88}{100}$

Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:

$x = \frac{176 \cdot 100}{88}$

Выполним вычисления:

$x = 2 \cdot 100 = 200$

Способ 2: Нахождение значения 1%

1. Сначала найдем, сколько семян составляет 1%. Для этого разделим известное количество взошедших семян на соответствующий им процент:

$176 \div 88 = 2$ (семени)

2. Теперь, зная, что 1% — это 2 семени, найдем общее количество (100%). Для этого умножим полученное значение на 100:

$2 \cdot 100 = 200$ (семян)

Оба способа показывают, что общее количество посаженных семян равно 200.

Ответ: 200 семян.

189. На предновогодней распродаже магазин снизил цены на все товары на 12%. Определите, какой стала цена каждого товара.

40

300

120

Чтобы найти новую цену товара после снижения на 12%, нужно от первоначальной цены отнять 12% от этой же цены. Другой способ — найти, какой процент от первоначальной цены составляет новая цена. Если цена снизилась на 12%, то она стала составлять $100\% - 12\% = 88\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить старую цену на 0,88.

Рассчитаем новую цену для каждого товара.

Для товара ценой 40 р.

1. Найдем размер скидки в рублях: 12% от 40 р.
$40 \times \frac{12}{100} = 40 \times 0.12 = 4.8$ р.

2. Вычтем размер скидки из первоначальной цены:
$40 - 4.8 = 35.2$ р.

Или в одно действие:
$40 \times (1 - \frac{12}{100}) = 40 \times 0.88 = 35.2$ р.

Ответ: 35,2 р.

Для товара ценой 300 р.

1. Найдем размер скидки в рублях: 12% от 300 р.
$300 \times \frac{12}{100} = 3 \times 12 = 36$ р.

2. Вычтем размер скидки из первоначальной цены:
$300 - 36 = 264$ р.

Или в одно действие:
$300 \times 0.88 = 264$ р.

Ответ: 264 р.

Для товара ценой 120 р.

1. Найдем размер скидки в рублях: 12% от 120 р.
$120 \times \frac{12}{100} = 120 \times 0.12 = 14.4$ р.

2. Вычтем размер скидки из первоначальной цены:
$120 - 14.4 = 105.6$ р.

Или в одно действие:
$120 \times 0.88 = 105.6$ р.

Ответ: 105,6 р.

190. Банк по срочным вкладам начисляет ежемесячный доход в размере 5% от суммы вклада, имевшейся в начале месяца. В начале месяца на счёт положили 500 р. Определите величину вклада через:

а) 1 месяц;

б) 2 месяца;

в) 3 месяца, если доход начисляется по формуле сложных процентов.

Для определения величины вклада по формуле сложных процентов используется формула: $S = P \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n$, где $S$ - конечная сумма вклада, $P$ - начальная сумма вклада, $i$ - процентная ставка за период (в процентах), $n$ - количество периодов.

Для решения данной задачи используется формула сложных процентов. Эта формула позволяет вычислить конечную сумму вклада с учётом того, что проценты начисляются не только на начальную сумму, но и на проценты, начисленные в предыдущие периоды.

Формула сложных процентов выглядит так:

$S_n = S_0 \cdot (1 + p)^n$

где:

$S_n$ — итоговая сумма вклада через $n$ месяцев.

$S_0$ — первоначальная сумма вклада.

$p$ — месячная процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби.

$n$ — количество месяцев.

По условиям задачи:

Первоначальная сумма вклада $S_0 = 500$ р.

Ежемесячная процентная ставка равна 5%, что в виде десятичной дроби составляет $p = \frac{5}{100} = 0.05$.

Теперь рассчитаем величину вклада для каждого случая.

а) 1 месяц;

Подставляем в формулу $n = 1$:

$S_1 = 500 \cdot (1 + 0.05)^1 = 500 \cdot 1.05 = 525$ р.

Ответ: 525 р.

б) 2 месяца;

Подставляем в формулу $n = 2$:

$S_2 = 500 \cdot (1 + 0.05)^2 = 500 \cdot (1.05)^2 = 500 \cdot 1.1025 = 551.25$ р.

Ответ: 551,25 р.

в) 3 месяца,

Подставляем в формулу $n = 3$:

$S_3 = 500 \cdot (1 + 0.05)^3 = 500 \cdot (1.05)^3 = 500 \cdot 1.157625 = 578.8125$ р.

Ответ: 578,8125 р.

191. Сколько процентов составляет число 80 от:

а) 100;

б) 320;

в) 240;

г) 60?

Для того чтобы определить, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе, а затем умножить полученное частное на 100%.

а) Найдем, сколько процентов составляет число 80 от 100.

Выполним расчет по формуле:

$ \frac{80}{100} \times 100\% = 0.8 \times 100\% = 80\% $

Ответ: 80%

б) Найдем, сколько процентов составляет число 80 от 320.

Выполним расчет, предварительно сократив дробь:

$ \frac{80}{320} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $

Ответ: 25%

в) Найдем, сколько процентов составляет число 80 от 240.

Выполним расчет, предварительно сократив дробь:

$ \frac{80}{240} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = \frac{100}{3}\% = 33\frac{1}{3}\% $

Ответ: $33\frac{1}{3}\%$

г) Найдем, сколько процентов составляет число 80 от 60.

Выполним расчет, предварительно сократив дробь:

$ \frac{80}{60} \times 100\% = \frac{4}{3} \times 100\% = \frac{400}{3}\% = 133\frac{1}{3}\% $

Ответ: $133\frac{1}{3}\%$

192. Из 120 посаженных семян подсолнечника взошло 102. Сколько процентов семян подсолнечника взошло?

Чтобы определить, какой процент семян подсолнечника взошел, необходимо найти отношение количества взошедших семян к общему количеству посаженных семян и выразить это отношение в процентах.

1. Найдём долю взошедших семян.

Для этого разделим количество взошедших семян (102) на общее количество посаженных семян (120).

$\frac{102}{120}$

Можно сократить эту дробь. Разделим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{102 \div 6}{120 \div 6} = \frac{17}{20}$

Можно также сразу разделить 102 на 120, чтобы получить десятичную дробь:

$102 \div 120 = 0.85$

2. Переведём полученную долю в проценты.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить её на 100.

$0.85 \times 100\% = 85\%$

Таким образом, взошло 85% семян.

Ответ: 85%

193. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Для решения этой задачи необходимо учесть, что каждый месяц цена увеличивается на 10% от стоимости предыдущего месяца. Это задача на вычисление сложных процентов.

Пусть $P$ — это первоначальная цена продуктов.

Увеличение цены на 10% эквивалентно умножению текущей цены на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.

1. Цена после первого месяца:
Новая цена составит $P_1 = P \times 1.1$.

2. Цена после второго месяца:
Цена снова увеличится на 10%, но уже от новой цены $P_1$.
$P_2 = P_1 \times 1.1 = (P \times 1.1) \times 1.1 = P \times 1.1^2 = P \times 1.21$.

3. Цена после третьего месяца:
Цена увеличится еще на 10% от цены $P_2$.
$P_3 = P_2 \times 1.1 = (P \times 1.21) \times 1.1 = P \times 1.331$.

Таким образом, через три месяца цена составит $1.331$ от первоначальной. Чтобы найти, на сколько процентов выросла цена, нужно найти разницу между конечной и начальной ценой и выразить ее в процентах от начальной цены.

Абсолютный прирост цены: $P_3 - P = 1.331P - P = 0.331P$.

Процентное увеличение: $\frac{\text{Абсолютный прирост}}{\text{Начальная цена}} \times 100\% = \frac{0.331P}{P} \times 100\% = 0.331 \times 100\% = 33.1\%$.

Ответ: 33,1%

194. В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей в городе увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Решение. Если число легковых автомобилей в городе будет увеличиваться на 15 %, или в 1,15 раза, ежегодно, то за 5 лет оно увеличится в $1,15^5 = 2,011...$, т. е. примерно в 2 раза.

Решение

Пусть $N_0$ — первоначальное число легковых автомобилей в городе. Ежегодное увеличение на 15% означает, что каждый год их количество умножается на коэффициент, равный $1 + \frac{15}{100} = 1,15$.

Это задача на сложные проценты. Рассчитаем, как будет меняться количество автомобилей год за годом:

Через 1 год число автомобилей станет: $N_1 = N_0 \cdot 1,15$.

Через 2 года: $N_2 = N_1 \cdot 1,15 = (N_0 \cdot 1,15) \cdot 1,15 = N_0 \cdot 1,15^2$.

Аналогично, через 5 лет число автомобилей $N_5$ составит: $N_5 = N_0 \cdot 1,15^5$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличится число автомобилей, нужно найти отношение конечного числа автомобилей $N_5$ к начальному $N_0$:

$\frac{N_5}{N_0} = \frac{N_0 \cdot 1,15^5}{N_0} = 1,15^5$.

Теперь вычислим значение этого выражения:

$1,15^5 = 1,15 \times 1,15 \times 1,15 \times 1,15 \times 1,15 \approx 2,011357$.

Округляя результат, получаем, что за 5 лет число легковых автомобилей увеличится примерно в 2,011 раза (или, как указано в примере, примерно в 2 раза).

Ответ: примерно в 2,011 раза.

195. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится, если доход начисляется по формуле сложных процентов?

Для решения задачи используется формула сложных процентов, которая показывает, как будет расти вложенная сумма с течением времени при ежегодном начислении процентов на всю имеющуюся сумму (включая ранее начисленные проценты).

Формула сложных процентов выглядит так:

$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

где:

• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет;
• $S_0$ — первоначальная вложенная сумма;
• $p$ — годовая процентная ставка (в нашем случае 20%);
• $n$ — количество лет.

По условию задачи, мы хотим найти, через сколько лет $n$ вложенная сумма $S_0$ удвоится. Это означает, что итоговая сумма $S_n$ должна быть равна $2S_0$.

Подставим известные значения в формулу:

$2S_0 = S_0 \cdot (1 + \frac{20}{100})^n$

Мы можем сократить $S_0$ в обеих частях уравнения (поскольку начальная сумма не равна нулю):

$2 = (1 + \frac{20}{100})^n$

$2 = (1 + 0.2)^n$

$2 = (1.2)^n$

Теперь нам нужно найти значение $n$, при котором $1.2$, возведенное в степень $n$, будет равно 2. Это можно сделать методом подбора, проверяя целые значения $n$, так как проценты начисляются ежегодно.

• При $n = 1$ год: $1.2^1 = 1.2$ (сумма увеличилась на 20%, но не удвоилась).
• При $n = 2$ года: $1.2^2 = 1.44$ (сумма увеличилась на 44%, но не удвоилась).
• При $n = 3$ года: $1.2^3 = 1.728$ (сумма увеличилась на 72.8%, но еще не удвоилась).
• При $n = 4$ года: $1.2^4 = 2.0736$ (сумма увеличилась более чем в два раза).

Из расчетов видно, что по окончании 3 лет сумма еще не достигнет удвоенного размера. Удвоение произойдет только после начисления процентов за четвертый год.

Таким образом, для удвоения вложенной суммы должно пройти 4 полных года.

Для более точного расчета можно было бы использовать логарифмы:

$n = \log_{1.2}(2) = \frac{\ln(2)}{\ln(1.2)} \approx \frac{0.693}{0.182} \approx 3.8$ лет.

Поскольку проценты начисляются один раз в конце года, то необходимо дождаться окончания 4-го года, чтобы сумма удвоилась.

Ответ: 4 года.