Страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

165. (Греция.) Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, — сказал мул, — если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество мешков, которое несла ослица, а $y$ — количество мешков, которое нёс мул.

Рассмотрим первое условие, которое озвучил мул: «если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей». Если ослица отдаст один мешок, у нее станет $x - 1$ мешков. Мул, получив этот мешок, будет нести $y + 1$ мешков. По условию, груз мула станет в два раза тяжелее груза ослицы. Это можно записать в виде уравнения:

$y + 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Теперь рассмотрим второе условие: «а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Если мул отдаст один мешок, у него останется $y - 1$ мешков. Ослица, получив его, будет нести $x + 1$ мешков. Их грузы станут равны. Запишем второе уравнение:

$y - 1 = x + 1$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ y - 1 = x + 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Проще всего начать со второго уравнения. Выразим $y$ через $x$:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Решим полученное уравнение:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Мы нашли, что у ослицы было 5 мешков. Теперь найдем количество мешков у мула, подставив значение $x$ в выражение $y = x + 2$:

$y = 5 + 2$

$y = 7$

Таким образом, у мула было 7 мешков.

Проверим найденные значения. Изначально: ослица — 5 мешков, мул — 7 мешков.

1. Ослица отдает 1 мешок мулу. У ослицы становится $5 - 1 = 4$ мешка, у мула — $7 + 1 = 8$ мешков. Действительно, $8 = 2 \cdot 4$, то есть ноша мула вдвое больше.

2. Мул отдает 1 мешок ослице. У мула становится $7 - 1 = 6$ мешков, у ослицы — $5 + 1 = 6$ мешков. Их грузы сравнялись.

Оба условия выполняются.

Ответ: у ослицы было 5 мешков, а у мула было 7 мешков.

166. Задача Л. Эйлера. Мул и осёл несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осёл, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша осла и ноша мула?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это вес ноши осла, а $y$ — это вес ноши мула.

Из первого условия, озвученного ослом («Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей»), следует, что если мул отдаст ослу 100 единиц, то ноша осла станет $x + 100$, а ноша мула — $y - 100$. При этом вес ноши осла будет в два раза больше веса ноши мула. Составим первое уравнение:

$x + 100 = 2(y - 100)$

Из второго условия, озвученного мулом («...если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя»), следует, что если осёл отдаст мулу 100 единиц, то ноша мула станет $y + 100$, а ноша осла — $x - 100$. При этом вес ноши мула будет в три раза больше веса ноши осла. Составим второе уравнение:

$y + 100 = 3(x - 100)$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases}x + 100 = 2(y - 100) \\y + 100 = 3(x - 100)\end{cases}$

Упростим уравнения, раскрыв скобки:

$\begin{cases}x + 100 = 2y - 200 \\y + 100 = 3x - 300\end{cases}$

Приведем систему к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть, а числа — в правую:

$\begin{cases}x - 2y = -200 - 100 \\-3x + y = -300 - 100\end{cases}$

$\begin{cases}x - 2y = -300 \\3x - y = 400\end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2y - 300$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(2y - 300) - y = 400$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$6y - 900 - y = 400$

$5y = 400 + 900$

$5y = 1300$

$y = \frac{1300}{5}$

$y = 260$

Мы нашли вес ноши мула. Теперь найдем вес ноши осла, подставив значение $y=260$ в выражение для $x$:

$x = 2(260) - 300$

$x = 520 - 300$

$x = 220$

Таким образом, вес ноши осла составлял 220 единиц, а вес ноши мула — 260 единиц.

Ответ: ноша осла весила 220 единиц, а ноша мула — 260 единиц.

167. Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Для решения этой задачи обозначим переменными возраст каждого из братьев. Пусть $M$ — это мой возраст в настоящее время, а $B$ — возраст моего брата в настоящее время.

Рассмотрим первое условие задачи: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте».

Из фразы «когда мой брат был в моём возрасте» следует, что речь идет о моменте в прошлом, когда возраст брата был равен моему нынешнему возрасту $M$. Это возможно только в том случае, если брат старше меня, то есть $B > M$. Разница в возрасте составляет $B - M$ лет, и это было $B - M$ лет назад.

В тот момент в прошлом мой возраст был $M - (B - M) = 2M - B$.

По условию, мой нынешний возраст $M$ в два раза больше, чем мой возраст в тот момент. На основе этого составляем первое уравнение:

$M = 2 \cdot (2M - B)$

$M = 4M - 2B$

$3M = 2B$

Теперь рассмотрим второе условие задачи: «Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет».

Это событие произойдет в будущем, когда мой возраст станет равен $B$. Это случится через $B - M$ лет.

В тот момент в будущем мой возраст будет $M + (B - M) = B$.

Возраст брата в тот же момент будет $B + (B - M) = 2B - M$.

Сумма их возрастов в будущем составит 98 лет. Составляем второе уравнение:

$B + (2B - M) = 98$

$3B - M = 98$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $3M = 2B$

2) $3B - M = 98$

Из первого уравнения выразим $M$ через $B$:

$M = \frac{2}{3}B$

Подставим это выражение для $M$ во второе уравнение:

$3B - \left(\frac{2}{3}B\right) = 98$

$\frac{9B}{3} - \frac{2B}{3} = 98$

$\frac{7B}{3} = 98$

Теперь найдем $B$:

$B = \frac{98 \cdot 3}{7} = 14 \cdot 3 = 42$

Итак, возраст брата — 42 года. Теперь найдем мой возраст, подставив значение $B$ в одно из уравнений:

$M = \frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot 14 = 28$

Таким образом, мне 28 лет, а моему брату 42 года.

Ответ: Мне 28 лет, а брату 42 года.

168. Кузнечик прыгает по прямой большими прыжками по 12 см и малыми прыжками по 7 см. Сможет ли кузнечик из одной точки прямой попасть в другую, если расстояние между ними 3 см?

Да, кузнечик сможет попасть в точку на расстоянии 3 см от начальной.

Пусть кузнечик находится в начале координат на прямой, то есть в точке 0. Ему нужно попасть в точку 3. Кузнечик может прыгать как вперед (положительное направление), так и назад (отрицательное направление). Обозначим количество больших прыжков по 12 см как $x$, а количество малых прыжков по 7 см как $y$. При этом $x$ и $y$ могут быть любыми целыми числами (положительными, если прыжок вперед, и отрицательными, если прыжок назад).

Тогда итоговое смещение кузнечика можно выразить формулой:

$12x + 7y$

Нам нужно выяснить, может ли это выражение равняться 3. То есть, имеет ли уравнение

$12x + 7y = 3$

решение в целых числах.

Такое уравнение называется линейным диофантовым уравнением. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $x$ и $y$ делит свободный член (число справа от знака равенства).

Найдем НОД для чисел 12 и 7:

$НОД(12, 7) = 1$

Так как число 1 делит любое целое число, то оно делит и 3. Следовательно, уравнение имеет решения в целых числах, а значит, кузнечик сможет переместиться на 3 см.

Чтобы убедиться в этом, найдем один из возможных вариантов прыжков. Можно подобрать значения $x$ и $y$ методом перебора.Попробуем найти такое целое $x$, чтобы выражение $(3 - 12x)$ было кратно 7:

• При $x = 1$, $3 - 12 \cdot 1 = -9$ (не делится на 7)
• При $x = 2$, $3 - 12 \cdot 2 = 3 - 24 = -21$ (делится на 7)

Если $x=2$, то $7y = -21$, откуда $y = -3$.

Таким образом, мы нашли одно из решений: $x=2, y=-3$. Это означает, что кузнечик может совершить 2 больших прыжка в одну сторону и 3 малых прыжка в противоположную сторону.

Проверим результат:

$2 \cdot 12 \text{ см} - 3 \cdot 7 \text{ см} = 24 \text{ см} - 21 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Ответ: Да, сможет. Например, он может сделать два прыжка по 12 см в одну сторону и три прыжка по 7 см в противоположную сторону: $2 \cdot 12 - 3 \cdot 7 = 3$ см.

169. Кузнечик прыгает по плоскости в любом направлении прыжками по 12 см. Сможет ли кузнечик из одной точки плоскости попасть в другую, если расстояние между ними 10 см?

Да, кузнечик сможет попасть из одной точки плоскости в другую, если расстояние между ними 10 см. Для этого ему потребуется совершить два прыжка.

Обозначим начальную точку как $A$, а конечную — как $B$. Расстояние между ними по условию составляет $|AB| = 10$ см. Длина каждого прыжка кузнечика равна 12 см.

Кузнечик может совершить первый прыжок из точки $A$ в некоторую промежуточную точку $C$ так, чтобы расстояние $|AC|$ было равно 12 см. Затем из точки $C$ он может совершить второй прыжок в точку $B$, при этом расстояние $|CB|$ также должно быть равно 12 см.

В результате траектория движения кузнечика ($A \to C \to B$) образует треугольник $ABC$ со сторонами $|AB| = 10$ см, $|AC| = 12$ см и $|CB| = 12$ см. Чтобы такой маневр был возможен, необходимо проверить, может ли существовать треугольник с такими сторонами. Для этого воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Проверим это условие для нашего случая:

• $|AC| + |CB| > |AB| \implies 12 + 12 > 10 \implies 24 > 10$. Неравенство выполняется.
• $|AB| + |AC| > |CB| \implies 10 + 12 > 12 \implies 22 > 12$. Неравенство выполняется.

Поскольку все условия неравенства треугольника выполняются, треугольник со сторонами 10 см, 12 см и 12 см существует. Это означает, что кузнечик может выбрать такую промежуточную точку $C$, чтобы, совершив два прыжка по 12 см, переместиться из точки $A$ в точку $B$.

Ответ: Да, сможет.

170. Разрежьте прямоугольник по прямой линии на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Найдите два различных решения задачи.

Задача состоит в том, чтобы разрезать прямоугольник одной прямой линией на две части, из которых затем можно сложить треугольник. Требуется найти два различных способа.

Пусть дан прямоугольник со сторонами длиной $a$ и $b$. Его площадь равна $S = a \cdot b$. Площадь треугольника, который мы получим, также должна быть равна $a \cdot b$.

Первый способ заключается в том, чтобы разрезать прямоугольник по одной из его диагоналей.

1. Разрез: Проведем прямую линию по диагонали прямоугольника. Например, в прямоугольнике $ABCD$ проведем диагональ $BD$.

2. Полученные части: В результате разреза получаются два одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ (с прямым углом при вершине $A$) и $\triangle CDB$ (с прямым углом при вершине $C$). Катеты каждого треугольника равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$.

3. Сборка треугольника: Возьмем эти два прямоугольных треугольника. Совместим их катеты, равные $b$ (стороны $AD$ и $CB$), так, чтобы их другие катеты (стороны $AB$ и $CD$, равные $a$) легли на одну прямую, образуя основание нового треугольника. Для этого один треугольник нужно "приставить" к другому. Например, можно приложить сторону $CB$ треугольника $\triangle CDB$ к стороне $AD$ треугольника $\triangle ABD$ так, чтобы вершина $C$ совпала с $A$, а вершина $B$ совпала с $D$.

В результате получится равнобедренный треугольник. Его основание будет равно $2a$, а высота, опущенная на это основание, будет равна $b$. Площадь полученного треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot b = a \cdot b$, что совпадает с площадью исходного прямоугольника.

Ответ: Разрезать прямоугольник по диагонали, а затем сложить из двух полученных прямоугольных треугольников равнобедренный треугольник, приложив их друг к другу по одному из равных катетов.

Второй способ использует разрез из вершины к середине противоположной стороны.

1. Разрез: Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Возьмем точку $M$ — середину стороны $CD$. Проведем прямую линию от вершины $A$ к точке $M$.

2. Полученные части: Разрез $AM$ делит прямоугольник на две части: прямоугольный треугольник $\triangle ADM$ (прямой угол при вершине $D$) и прямоугольную трапецию $ABCM$ (прямые углы при вершинах $B$ и $C$). У треугольника $\triangle ADM$ катеты $AD=b$ и $DM=\frac{a}{2}$.

3. Сборка треугольника: Возьмем треугольник $\triangle ADM$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $M$. При таком повороте:

• Вершина $M$ останется на месте.
• Вершина $D$ перейдет в вершину $C$, так как $M$ — середина отрезка $CD$.
• Вершина $A$ перейдет в новую точку $A'$.

Теперь приложим повернутый треугольник (теперь это $\triangle A'CM$) к трапеции $ABCM$ по их общей стороне $CM$.

Сторона $BC$ трапеции и сторона $CA'$ (бывшая $DA$) треугольника окажутся на одной прямой, так как $\angle BCM = 90^\circ$ и $\angle MCA' = \angle MDA = 90^\circ$, а в сумме они дают $180^\circ$. Таким образом, точки $B$, $C$, $A'$ лежат на одной прямой. В результате получится большой треугольник $\triangle ABA'$. Он будет прямоугольным, так как сторона $AB$ горизонтальна, а сторона $BA'$ вертикальна. Его катеты будут равны $AB = a$ и $BA' = BC + CA' = b + b = 2b$. Площадь этого треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2b) = a \cdot b$, что совпадает с площадью исходного прямоугольника.

Ответ: Разрезать прямоугольник по линии, соединяющей одну из вершин с серединой противоположной стороны. Затем из полученных треугольника и трапеции сложить прямоугольный треугольник, повернув меньшую часть (треугольник) на $180^\circ$ вокруг середины разрезаемой стороны.

171. а) Тротуар шириной 3 м и длиной 60 м выстилают бетонными плитами, каждая из которых имеет форму квадрата со стороной 50 см. Сколько потребуется плит?

б) Пол в ванной комнате выстилают керамическими плитками, каждая из которых имеет форму квадрата со стороной 12 см. Сколько нужно купить упаковок плиток по 48 плиток в каждой, если размеры пола ванной комнаты 1 м 80 см и 1 м 50 см? Учтите, что в ванной комнате мастера делают бортик высотой в полплитки и умеют резать керамические плитки на части.

а)

Для решения этой задачи необходимо найти площадь тротуара и площадь одной плиты, а затем разделить первую на вторую. Для удобства вычислений переведем все размеры в одну единицу измерения, например, в сантиметры.

1. Переведем размеры тротуара в сантиметры:
Ширина: $3 \text{ м} = 3 \times 100 = 300 \text{ см}$.
Длина: $60 \text{ м} = 60 \times 100 = 6000 \text{ см}$.

2. Найдем площадь тротуара ($S_{тротуара}$):
$S_{тротуара} = \text{длина} \times \text{ширина} = 6000 \text{ см} \times 300 \text{ см} = 1\;800\;000 \text{ см}^2$.

3. Найдем площадь одной бетонной плиты ($S_{плиты}$). Сторона плиты равна $50 \text{ см}$:
$S_{плиты} = 50 \text{ см} \times 50 \text{ см} = 2500 \text{ см}^2$.

4. Разделим площадь тротуара на площадь одной плиты, чтобы найти необходимое количество плит (N):
$N = \frac{S_{тротуара}}{S_{плиты}} = \frac{1\;800\;000}{2500} = 720$ плит.

Можно решить задачу и другим способом, рассчитав, сколько плит укладывается в ряд по длине и ширине:

Количество плит по ширине: $\frac{300 \text{ см}}{50 \text{ см}} = 6$ плит.
Количество плит по длине: $\frac{6000 \text{ см}}{50 \text{ см}} = 120$ плит.
Общее количество плит: $6 \times 120 = 720$ плит.

Ответ: 720 плит.

б)

В этой задаче нужно рассчитать общее количество плиток, необходимое для укладки пола и для создания бортика по периметру ванной комнаты. Затем определить, сколько упаковок нужно купить.

1. Переведем размеры пола в сантиметры:
$1 \text{ м } 80 \text{ см} = 180 \text{ см}$.
$1 \text{ м } 50 \text{ см} = 150 \text{ см}$.

2. Рассчитаем количество плиток для пола.
Площадь пола: $S_{пола} = 180 \text{ см} \times 150 \text{ см} = 27000 \text{ см}^2$.
Площадь одной плитки (со стороной 12 см): $S_{плитки} = 12 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 144 \text{ см}^2$.
Так как плитки можно резать, необходимое количество определяется делением общей площади на площадь одной плитки:
$N_{пола} = \frac{S_{пола}}{S_{плитки}} = \frac{27000}{144} = 187.5$.
Поскольку для того, чтобы вырезать часть плитки, нужно взять целую, округляем полученное значение в большую сторону. Потребуется 188 плиток.

3. Рассчитаем количество плиток для бортика.
Периметр ванной комнаты: $P = 2 \times (180 \text{ см} + 150 \text{ см}) = 2 \times 330 \text{ см} = 660 \text{ см}$.
Высота бортика — «в полплитки», то есть $12 \text{ см} / 2 = 6 \text{ см}$.
Из одной плитки ($12 \times 12$ см) можно нарезать две полоски для бортика размером $12 \times 6$ см. Длина каждой такой полоски будет 12 см.
Количество таких полосок, чтобы покрыть весь периметр:
$N_{полосок} = \frac{P}{\text{длина полоски}} = \frac{660 \text{ см}}{12 \text{ см}} = 55$ штук.
Так как из одной плитки получается 2 полоски, для изготовления 55 полосок потребуется:
$N_{бортика} = \frac{N_{полосок}}{2} = \frac{55}{2} = 27.5$.
Округляем до целого числа в большую сторону: 28 плиток.

4. Найдем общее количество плиток и необходимое число упаковок.
Общее количество плиток: $N_{всего} = N_{пола} + N_{бортика} = 188 + 28 = 216$ плиток.
Плитки продаются в упаковках по 48 штук. Рассчитаем количество упаковок:
$N_{упаковок} = \frac{N_{всего}}{48} = \frac{216}{48} = 4.5$.
Поскольку купить можно только целое число упаковок, необходимо приобрести 5 упаковок.

Ответ: 5 упаковок.

172. а) Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её длина равна 28 см, ширина составляет 0,5 длины, а высота составляет $\frac{1}{7}$ ширины. Найдите объём коробки.

б) Длина строительного кирпича 25 см, ширина составляет 0,48 длины, а высота составляет 0,26 длины. Выразите объём кирпича в кубических дециметрах.

а)

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда используется формула $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

1. Сначала найдём ширину коробки. По условию она составляет 0,5 от длины, которая равна 28 см.

Ширина $b = 28 \text{ см} \cdot 0,5 = 14 \text{ см}$.

2. Затем найдём высоту коробки. Она составляет $\frac{1}{7}$ от ширины.

Высота $c = 14 \text{ см} \cdot \frac{1}{7} = \frac{14}{7} \text{ см} = 2 \text{ см}$.

3. Теперь, зная все три измерения, вычислим объём коробки.

$V = 28 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 784 \text{ см}^3$.

Ответ: $784 \text{ см}^3$.

б)

1. Найдём размеры кирпича. Длина дана: $a = 25 \text{ см}$.

2. Ширина составляет 0,48 от длины.

Ширина $b = 25 \text{ см} \cdot 0,48 = 12 \text{ см}$.

3. Высота составляет 0,26 от длины.

Высота $c = 25 \text{ см} \cdot 0,26 = 6,5 \text{ см}$.

4. Вычислим объём кирпича в кубических сантиметрах.

$V = a \cdot b \cdot c = 25 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 6,5 \text{ см} = 300 \text{ см}^2 \cdot 6,5 \text{ см} = 1950 \text{ см}^3$.

5. Переведём полученный объём в кубические дециметры. В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому в одном кубическом дециметре $10^3 = 1000$ кубических сантиметров.

$1950 \text{ см}^3 = \frac{1950}{1000} \text{ дм}^3 = 1,95 \text{ дм}^3$.

Ответ: $1,95 \text{ дм}^3$.