Номер 167, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 167, страница 290.

Условие.

167. Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи обозначим переменными возраст каждого из братьев. Пусть $M$ — это мой возраст в настоящее время, а $B$ — возраст моего брата в настоящее время.

Рассмотрим первое условие задачи: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моём возрасте».

Из фразы «когда мой брат был в моём возрасте» следует, что речь идет о моменте в прошлом, когда возраст брата был равен моему нынешнему возрасту $M$. Это возможно только в том случае, если брат старше меня, то есть $B > M$. Разница в возрасте составляет $B - M$ лет, и это было $B - M$ лет назад.

В тот момент в прошлом мой возраст был $M - (B - M) = 2M - B$.

По условию, мой нынешний возраст $M$ в два раза больше, чем мой возраст в тот момент. На основе этого составляем первое уравнение:

$M = 2 \cdot (2M - B)$

$M = 4M - 2B$

$3M = 2B$

Теперь рассмотрим второе условие задачи: «Когда мне будет столько лет, сколько теперь брату, то нам вместе будет 98 лет».

Это событие произойдет в будущем, когда мой возраст станет равен $B$. Это случится через $B - M$ лет.

В тот момент в будущем мой возраст будет $M + (B - M) = B$.

Возраст брата в тот же момент будет $B + (B - M) = 2B - M$.

Сумма их возрастов в будущем составит 98 лет. Составляем второе уравнение:

$B + (2B - M) = 98$

$3B - M = 98$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $3M = 2B$

2) $3B - M = 98$

Из первого уравнения выразим $M$ через $B$:

$M = \frac{2}{3}B$

Подставим это выражение для $M$ во второе уравнение:

$3B - \left(\frac{2}{3}B\right) = 98$

$\frac{9B}{3} - \frac{2B}{3} = 98$

$\frac{7B}{3} = 98$

Теперь найдем $B$:

$B = \frac{98 \cdot 3}{7} = 14 \cdot 3 = 42$

Итак, возраст брата — 42 года. Теперь найдем мой возраст, подставив значение $B$ в одно из уравнений:

$M = \frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot 14 = 28$

Таким образом, мне 28 лет, а моему брату 42 года.

Ответ: Мне 28 лет, а брату 42 года.