Номер 170, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 170, страница 290.

Условие.

170. Разрежьте прямоугольник по прямой линии на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Найдите два различных решения задачи.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в том, чтобы разрезать прямоугольник одной прямой линией на две части, из которых затем можно сложить треугольник. Требуется найти два различных способа.

Пусть дан прямоугольник со сторонами длиной $a$ и $b$. Его площадь равна $S = a \cdot b$. Площадь треугольника, который мы получим, также должна быть равна $a \cdot b$.

Решение 1

Первый способ заключается в том, чтобы разрезать прямоугольник по одной из его диагоналей.

1. Разрез: Проведем прямую линию по диагонали прямоугольника. Например, в прямоугольнике $ABCD$ проведем диагональ $BD$.

2. Полученные части: В результате разреза получаются два одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ (с прямым углом при вершине $A$) и $\triangle CDB$ (с прямым углом при вершине $C$). Катеты каждого треугольника равны сторонам прямоугольника $a$ и $b$.

3. Сборка треугольника: Возьмем эти два прямоугольных треугольника. Совместим их катеты, равные $b$ (стороны $AD$ и $CB$), так, чтобы их другие катеты (стороны $AB$ и $CD$, равные $a$) легли на одну прямую, образуя основание нового треугольника. Для этого один треугольник нужно "приставить" к другому. Например, можно приложить сторону $CB$ треугольника $\triangle CDB$ к стороне $AD$ треугольника $\triangle ABD$ так, чтобы вершина $C$ совпала с $A$, а вершина $B$ совпала с $D$.

В результате получится равнобедренный треугольник. Его основание будет равно $2a$, а высота, опущенная на это основание, будет равна $b$. Площадь полученного треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot b = a \cdot b$, что совпадает с площадью исходного прямоугольника.

Ответ: Разрезать прямоугольник по диагонали, а затем сложить из двух полученных прямоугольных треугольников равнобедренный треугольник, приложив их друг к другу по одному из равных катетов.

Решение 2

Второй способ использует разрез из вершины к середине противоположной стороны.

1. Разрез: Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$. Возьмем точку $M$ — середину стороны $CD$. Проведем прямую линию от вершины $A$ к точке $M$.

2. Полученные части: Разрез $AM$ делит прямоугольник на две части: прямоугольный треугольник $\triangle ADM$ (прямой угол при вершине $D$) и прямоугольную трапецию $ABCM$ (прямые углы при вершинах $B$ и $C$). У треугольника $\triangle ADM$ катеты $AD=b$ и $DM=\frac{a}{2}$.

3. Сборка треугольника: Возьмем треугольник $\triangle ADM$ и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $M$. При таком повороте:

• Вершина $M$ останется на месте.
• Вершина $D$ перейдет в вершину $C$, так как $M$ — середина отрезка $CD$.
• Вершина $A$ перейдет в новую точку $A'$.

Теперь приложим повернутый треугольник (теперь это $\triangle A'CM$) к трапеции $ABCM$ по их общей стороне $CM$.

Сторона $BC$ трапеции и сторона $CA'$ (бывшая $DA$) треугольника окажутся на одной прямой, так как $\angle BCM = 90^\circ$ и $\angle MCA' = \angle MDA = 90^\circ$, а в сумме они дают $180^\circ$. Таким образом, точки $B$, $C$, $A'$ лежат на одной прямой. В результате получится большой треугольник $\triangle ABA'$. Он будет прямоугольным, так как сторона $AB$ горизонтальна, а сторона $BA'$ вертикальна. Его катеты будут равны $AB = a$ и $BA' = BC + CA' = b + b = 2b$. Площадь этого треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2b) = a \cdot b$, что совпадает с площадью исходного прямоугольника.

Ответ: Разрезать прямоугольник по линии, соединяющей одну из вершин с серединой противоположной стороны. Затем из полученных треугольника и трапеции сложить прямоугольный треугольник, повернув меньшую часть (треугольник) на $180^\circ$ вокруг середины разрезаемой стороны.