Номер 164, страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 164, страница 289.

Условие.

164. Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение

Это классическая задача, которая решается с помощью системы линейных уравнений. Давайте обозначим количество денег у первого человека как $x$, а у его друга — как $y$.

Исходя из первого условия задачи, «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», мы можем составить первое уравнение. Если друг даст первому 100 рупий, то у первого станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Состояние первого будет в два раза больше состояния второго:

$x + 100 = 2(y - 100)$

Из второго условия, «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя», мы можем составить второе уравнение. Если первый даст другу 10 рупий, то у первого останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Состояние друга будет в шесть раз больше состояния первого:

$y + 10 = 6(x - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $

Раскроем скобки и упростим оба уравнения:

1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$

Теперь решим эту систему. Удобно выразить $y$ из второго уравнения:

$y = 6x - 70$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x - 2(6x - 70) = -300$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Мы нашли, что у первого человека было 40 рупий. Теперь найдем, сколько было у друга, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 6x - 70$
$y = 6 \cdot 40 - 70$
$y = 240 - 70$
$y = 170$

Итак, у друга было 170 рупий.

Проверим решение:

• Первый сценарий: $40 + 100 = 140$. $170 - 100 = 70$. $140 = 2 \cdot 70$. Верно.
• Второй сценарий: $170 + 10 = 180$. $40 - 10 = 30$. $180 = 6 \cdot 30$. Верно.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у друга — 170 рупий.