Страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

154. Один человек спросил своего приятеля:

— Сколько лет твоему сыну?

— Если к возрасту моего сына прибавить столько же да ещё половину, то будет 10 лет. Сколько же лет сыну?

Для решения этой задачи давайте обозначим возраст сына неизвестной переменной, например, $x$.

Согласно условию, если к возрасту сына ($x$) прибавить столько же (то есть, ещё $x$) и прибавить ещё половину его возраста ($\frac{x}{2}$), то в результате получится 10 лет. Мы можем записать это в виде математического уравнения:

$x + x + \frac{x}{2} = 10$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Сложим первые два слагаемых в левой части уравнения:

$2x + \frac{x}{2} = 10$

2. Чтобы сложить $2x$ и $\frac{x}{2}$, приведем их к общему знаменателю. $2x$ можно представить в виде дроби $\frac{4x}{2}$:

$\frac{4x}{2} + \frac{x}{2} = 10$

3. Теперь сложим дроби в левой части:

$\frac{5x}{2} = 10$

4. Чтобы найти $5x$, умножим обе части уравнения на 2:

$5x = 10 \cdot 2$

$5x = 20$

5. Наконец, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Таким образом, возраст сына составляет 4 года.

Проверим полученный результат: возраст сына (4 года) + столько же (4 года) + половина возраста ($\frac{4}{2} = 2$ года) = $4 + 4 + 2 = 10$ лет. Условие задачи выполнено.

Ответ: 4 года.

155. Одного человека спросили: «Сколько Вам лет?» На что он ответил: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет». Сколько лет этому человеку?

$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 100$

Обозначим текущий возраст человека переменной $x$.

Согласно условию задачи, его нынешний возраст ($x$), плюс половина его возраста ($\frac{x}{2}$), плюс треть его возраста ($\frac{x}{3}$), плюс четверть его возраста ($\frac{x}{4}$) в сумме составят 100 лет.

Составим математическое уравнение на основе этого условия:

$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 100$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 4 — это 12.

$ \frac{12x}{12} + \frac{6x}{12} + \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = 100 $

Теперь сложим все дроби в левой части уравнения:

$ \frac{12x + 6x + 4x + 3x}{12} = 100 $

$ \frac{25x}{12} = 100 $

Найдем $x$, умножив обе части уравнения на 12 и разделив на 25:

$ 25x = 100 \cdot 12 $

$ 25x = 1200 $

$ x = \frac{1200}{25} $

$ x = 48 $

Таким образом, человеку сейчас 48 лет.

Проверим полученный результат:

Текущий возраст — 48 лет.

Когда он проживет еще:

половину своих лет: $ \frac{48}{2} = 24 $ года,

треть своих лет: $ \frac{48}{3} = 16 $ лет,

четверть своих лет: $ \frac{48}{4} = 12 $ лет.

Его возраст составит: $ 48 + 24 + 16 + 12 = 100 $ лет.

Расчет верен.

Ответ: 48 лет.

156. Летит стая гусей, и навстречу ей один гусь.

— Здравствуйте, сто гусей! — сказал гусь.

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было столько, ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами — вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

Для решения этой задачи нужно составить уравнение на основе диалога. Пусть $x$ — это искомое количество гусей в стае.

Вожак стаи говорит, что если к их количеству ($x$) прибавить ещё столько же ($x$), затем половину от их количества ($\frac{1}{2}x$), затем четверть от их количества ($\frac{1}{4}x$) и ещё одного гуся, который их встретил ($1$), то в сумме получится 100.

Запишем это в виде математического уравнения:

$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$. Для удобства можно перевести дроби в десятичный формат: $\frac{1}{2} = 0.5$, $\frac{1}{4} = 0.25$.

$x + x + 0.5x + 0.25x + 1 = 100$

Складываем коэффициенты при $x$:

$(1 + 1 + 0.5 + 0.25)x + 1 = 100$

$2.75x + 1 = 100$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2.75x = 100 - 1$

$2.75x = 99$

Теперь найдём $x$, разделив 99 на 2.75. Чтобы упростить деление, представим 2.75 как неправильную дробь $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

$x = 99 \div \frac{11}{4}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 99 \times \frac{4}{11}$

$x = \frac{99 \times 4}{11}$

Сокращаем 99 и 11 ($99 \div 11 = 9$):

$x = 9 \times 4$

$x = 36$

Проверим полученный результат: $36$ (гуси в стае) + $36$ (еще столько) + $18$ (полстолько) + $9$ (четверть столько) + $1$ (встречный гусь) = $72 + 18 + 9 + 1 = 90 + 10 = 100$. Всё верно.

Ответ: в стае было 36 гусей.

157. У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили ещё 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество российских марок, которые подарили мальчику.

Всего мальчику подарили 25 марок. Значит, количество подаренных иностранных марок равно $25 - x$.

Изначально у мальчика было 210 российских марок и 65 иностранных.

После того как ему подарили новые марки, количество марок стало:

• Российских: $210 + x$
• Иностранных: $65 + (25 - x) = 90 - x$

По условию задачи, после этого российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Составим и решим уравнение:

$210 + x = 3 \times (90 - x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$210 + x = 270 - 3x$

Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные:

$x + 3x = 270 - 210$

Приведём подобные слагаемые:

$4x = 60$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{60}{4}$

$x = 15$

Следовательно, мальчику подарили 15 российских марок.

Выполним проверку:

• Подарили российских марок: 15.
• Подарили иностранных марок: $25 - 15 = 10$.
• Всего российских марок стало: $210 + 15 = 225$.
• Всего иностранных марок стало: $65 + 10 = 75$.
• Проверим, стало ли российских марок в 3 раза больше: $225 \div 75 = 3$. Условие выполняется.

Ответ: мальчику подарили 15 российских марок.

158. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет:

а) в 3 раза старше сына;

б) в 5 раз старше сына?

а) Пусть через $x$ лет отец будет в 3 раза старше сына. Тогда возраст отца составит $32 + x$ лет, а возраст сына — $8 + x$ лет. Составим уравнение, исходя из условия задачи: $32 + x = 3 \cdot (8 + x)$
Раскроем скобки и решим уравнение: $32 + x = 24 + 3x$
$32 - 24 = 3x - x$
$8 = 2x$
$x = 4$
Проверим: через 4 года отцу будет $32 + 4 = 36$ лет, а сыну $8 + 4 = 12$ лет. $36 \div 12 = 3$. Условие выполняется.
Ответ: через 4 года.

б) Пусть через $x$ лет отец будет в 5 раз старше сына. Тогда возраст отца составит $32 + x$ лет, а возраст сына — $8 + x$ лет. Составим уравнение: $32 + x = 5 \cdot (8 + x)$
Раскроем скобки и решим уравнение: $32 + x = 40 + 5x$
$32 - 40 = 5x - x$
$-8 = 4x$
$x = -2$
Отрицательное значение $x$ означает, что это событие произошло в прошлом, 2 года назад. Тогда отцу было $32 - 2 = 30$ лет, а сыну $8 - 2 = 6$ лет, и действительно, $30 = 5 \cdot 6$. Поскольку вопрос «через сколько лет» подразумевает будущее, а соотношение возрастов с годами уменьшается (сейчас оно $32 \div 8 = 4$), то в будущем этого не произойдет.
Ответ: это событие было 2 года назад.

159. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Находим возраст сестры в настоящий момент.

Из условия известно, что брату 12 лет и он в 3 раза старше сестры. Чтобы найти возраст сестры, необходимо возраст брата разделить на 3.

$12 / 3 = 4$ года.

Итак, сейчас сестре 4 года.

2. Составляем уравнение для нахождения искомого количества лет.

Пусть $x$ — это количество лет, через которое брат станет в 2 раза старше сестры.

Через $x$ лет возраст брата будет равен $12 + x$ лет.

Через $x$ лет возраст сестры будет равен $4 + x$ лет.

По условию, через $x$ лет возраст брата будет вдвое больше возраста сестры. Запишем это в виде уравнения:

$12 + x = 2 \cdot (4 + x)$

3. Решаем составленное уравнение.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$12 + x = 8 + 2x$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Для этого вычтем $x$ из обеих частей и вычтем 8 из обеих частей:

$12 - 8 = 2x - x$

$4 = x$

Следовательно, через 4 года брат будет в 2 раза старше сестры.

Проверка:

Через 4 года брату будет: $12 + 4 = 16$ лет.

Через 4 года сестре будет: $4 + 4 = 8$ лет.

Проверим соотношение их возрастов: $16 / 8 = 2$. Условие выполняется.

Ответ: через 4 года.

160. a) Сейчас мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?

б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сколько лет сестре?

а) Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это возраст дочери сейчас. Согласно условию, мама сейчас в 8 раз старше, значит, ее возраст составляет $8x$ лет. Через 4 года возраст дочери будет $(x + 4)$ года, а возраст мамы — $(8x + 4)$ лет. По условию, через 4 года мама будет старше дочери в 4 раза. На основе этого составим и решим уравнение:

$8x + 4 = 4(x + 4)$

Раскроем скобки:

$8x + 4 = 4x + 16$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$8x - 4x = 16 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = 12$

Найдем $x$:

$x = 12 / 4$

$x = 3$

Таким образом, возраст дочери сейчас составляет 3 года. Проверим: сейчас дочери 3 года, тогда маме $8 \times 3 = 24$ года. Через 4 года дочери будет $3 + 4 = 7$ лет, а маме $24 + 4 = 28$ лет. Соотношение возрастов через 4 года: $28 / 7 = 4$. Условие задачи выполняется.

Ответ: дочери сейчас 3 года.

б) Пусть $y$ — это возраст сестры сейчас. Согласно условию, брат сейчас в 3 раза старше, значит, его возраст составляет $3y$ лет. Через 5 лет возраст сестры будет $(y + 5)$ лет, а возраст брата — $(3y + 5)$ лет. По условию, через 5 лет брат будет старше сестры в 2 раза. Составим и решим уравнение:

$3y + 5 = 2(y + 5)$

Раскроем скобки:

$3y + 5 = 2y + 10$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$3y - 2y = 10 - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$y = 5$

Мы нашли, что возраст сестры сейчас — 5 лет. Теперь найдем возраст брата: $3 \times y = 3 \times 5 = 15$ лет. Проверим: сейчас сестре 5 лет, брату 15 лет (в 3 раза старше). Через 5 лет сестре будет $5 + 5 = 10$ лет, а брату $15 + 5 = 20$ лет (в 2 раза старше). Условия задачи выполняются.

Ответ: сейчас сестре 5 лет, а брату 15 лет.

161. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза.

Через сколько лет отец будет:

а) в 2 раза старше сына;

б) в 5 раз старше сына?

Для начала определим текущий возраст отца и сына. Пусть $С$ — это возраст сына, а $О$ — возраст отца.

Из условия задачи нам известно, что:

1. Отец старше сына на 24 года: $О = С + 24$.
2. Сейчас отец старше сына в 3 раза: $О = 3С$.

Поскольку левые части уравнений равны ($О = О$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти возраст сына:

$3С = С + 24$

Перенесем $С$ в левую часть уравнения:

$3С - С = 24$

$2С = 24$

$С = 24 / 2$

$С = 12$

Итак, сейчас сыну 12 лет.

Теперь найдем возраст отца, используя второе уравнение:

$О = 3 \times 12 = 36$

Сейчас отцу 36 лет. Проверим разницу в возрасте: $36 - 12 = 24$ года. Все верно.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) в 2 раза старше сына;

Пусть $x$ – это количество лет, через которое отец будет в 2 раза старше сына. Через $x$ лет возраст отца будет $36 + x$, а возраст сына – $12 + x$.

Составим уравнение согласно условию:

$36 + x = 2 \times (12 + x)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$36 + x = 24 + 2x$

$36 - 24 = 2x - x$

$x = 12$

Проверим: через 12 лет отцу будет $36 + 12 = 48$ лет, а сыну – $12 + 12 = 24$ года. Отношение их возрастов будет $48 / 24 = 2$.

Ответ: через 12 лет.

б) в 5 раз старше сына?

Пусть $y$ – это искомое количество лет. Через $y$ лет возраст отца будет $36 + y$, а возраст сына – $12 + y$.

Составим уравнение:

$36 + y = 5 \times (12 + y)$

Решим это уравнение:

$36 + y = 60 + 5y$

$y - 5y = 60 - 36$

$-4y = 24$

$y = 24 / (-4)$

$y = -6$

Результат $y = -6$ означает, что это событие произошло 6 лет назад, а не произойдет в будущем. Сейчас отец старше сына в 3 раза. С годами отношение их возрастов будет уменьшаться, стремясь к единице. Поэтому в будущем отец никогда не будет старше сына в 5 раз.

Проверим, что было 6 лет назад: отцу было $36 - 6 = 30$ лет, а сыну – $12 - 6 = 6$ лет. Отношение возрастов: $30 / 6 = 5$.

Ответ: никогда. Отец был в 5 раз старше сына 6 лет назад, но в будущем этого не произойдет.

162. В двух бидонах 70 л молока. После того как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько молока было в каждом бидоне первоначально?

Решим задачу по действиям.

1. Вычислим, сколько всего молока продали из двух бидонов.
По условию, из каждого бидона продали по 20 л молока. Так как бидонов было два, общее количество проданного молока составляет:
$20 \text{ л} \times 2 = 40 \text{ л}$

2. Найдем, сколько всего молока осталось в двух бидонах.
Первоначально было 70 л молока, а продали 40 л. Следовательно, оставшееся количество молока равно:
$70 \text{ л} - 40 \text{ л} = 30 \text{ л}$

3. Определим, сколько молока осталось в каждом бидоне после продажи.
Пусть в одном бидоне (в котором осталось меньше) осталось $x$ литров молока. Тогда в другом бидоне, согласно условию, осталось в 2 раза больше, то есть $2x$ литров.
Вместе в них осталось 30 л. Составим и решим уравнение:
$x + 2x = 30$
$3x = 30$
$x = 30 \div 3$
$x = 10$ (л) — осталось в одном бидоне.
Тогда в другом бидоне осталось:
$2 \times 10 = 20$ (л).

4. Найдем первоначальное количество молока в каждом бидоне.
Для этого к количеству молока, оставшемуся в каждом бидоне, нужно прибавить 20 л, которые были проданы.
В первом (большем) бидоне было:
$20 \text{ л} + 20 \text{ л} = 40 \text{ л}$
Во втором (меньшем) бидоне было:
$10 \text{ л} + 20 \text{ л} = 30 \text{ л}$

Проверка:
Первоначальная сумма: $40 \text{ л} + 30 \text{ л} = 70 \text{ л}$. (Соответствует условию)
После продажи: в первом бидоне осталось $40 - 20 = 20$ л, во втором $30 - 20 = 10$ л.
$20$ л ровно в 2 раза больше, чем $10$ л. (Соответствует условию)

Ответ: первоначально в одном бидоне было 40 л молока, а в другом — 30 л.

163. Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

Для решения задачи введем две переменные и составим систему уравнений, отражающую условия диалога.

Пусть $x$ — количество слив у первого человека, а $y$ — количество слив у второго человека.

Первое условие: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну».

Если второй человек отдаст первому 2 сливы, то у первого станет $x + 2$ сливы, а у второго останется $y - 2$ слив. По условию, их количество станет равным. Составим первое уравнение:

$x + 2 = y - 2$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$ для удобства дальнейшей подстановки:

$y = x + 4$

Второе условие: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя».

Если первый человек отдаст второму 2 сливы, то у него останется $x - 2$ сливы, а у второго станет $y + 2$ слив. По условию, у второго станет в два раза больше слив, чем у первого. Составим второе уравнение:

$y + 2 = 2 \cdot (x - 2)$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

1) $y = x + 4$

2) $y + 2 = 2(x - 2)$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x + 4) + 2 = 2(x - 2)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение для нахождения $x$:

$x + 6 = 2x - 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$6 + 4 = 2x - x$

$x = 10$

Таким образом, у первого человека было 10 слив.

Теперь найдем количество слив у второго человека, подставив найденное значение $x=10$ в первое уравнение:

$y = 10 + 4 = 14$

Следовательно, у второго человека было 14 слив.

Проверка

1. Проверим первое условие: если у первого 10 слив, а у второго 14, и второй отдает 2 сливы, то у первого становится $10 + 2 = 12$, а у второго $14 - 2 = 12$. Количество становится равным (12 = 12). Условие выполняется.

2. Проверим второе условие: если первый отдает 2 сливы, то у него остается $10 - 2 = 8$, а у второго становится $14 + 2 = 16$. У второго становится в два раза больше ($16 = 2 \cdot 8$). Условие также выполняется.

Ответ: у первого человека было 10 слив, у второго — 14 слив.

164. Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Решение

Это классическая задача, которая решается с помощью системы линейных уравнений. Давайте обозначим количество денег у первого человека как $x$, а у его друга — как $y$.

Исходя из первого условия задачи, «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», мы можем составить первое уравнение. Если друг даст первому 100 рупий, то у первого станет $x + 100$ рупий, а у друга останется $y - 100$ рупий. Состояние первого будет в два раза больше состояния второго:

$x + 100 = 2(y - 100)$

Из второго условия, «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя», мы можем составить второе уравнение. Если первый даст другу 10 рупий, то у первого останется $x - 10$ рупий, а у друга станет $y + 10$ рупий. Состояние друга будет в шесть раз больше состояния первого:

$y + 10 = 6(x - 10)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $

Раскроем скобки и упростим оба уравнения:

1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$

Теперь решим эту систему. Удобно выразить $y$ из второго уравнения:

$y = 6x - 70$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x - 2(6x - 70) = -300$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Мы нашли, что у первого человека было 40 рупий. Теперь найдем, сколько было у друга, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 6x - 70$
$y = 6 \cdot 40 - 70$
$y = 240 - 70$
$y = 170$

Итак, у друга было 170 рупий.

Проверим решение:

• Первый сценарий: $40 + 100 = 140$. $170 - 100 = 70$. $140 = 2 \cdot 70$. Верно.
• Второй сценарий: $170 + 10 = 180$. $40 - 10 = 30$. $180 = 6 \cdot 30$. Верно.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, а у друга — 170 рупий.