Страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

87. В классе каждый ученик выполнил нормативы по бегу или по метанию мяча. Половина класса сдала норматив по бегу, $\frac{2}{3}$ класса — по метанию мяча. Какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием множеств. Пусть весь класс — это универсальное множество, которое мы принимаем за 1.

Пусть $A$ — это множество учеников, которые сдали норматив по бегу. По условию, их доля от всего класса составляет $\frac{1}{2}$.

$|A| = \frac{1}{2}$

Пусть $B$ — это множество учеников, которые сдали норматив по метанию мяча. Их доля от всего класса составляет $\frac{2}{3}$.

$|B| = \frac{2}{3}$

В условии сказано, что каждый ученик выполнил норматив по бегу или по метанию мяча. Это означает, что объединение множеств $A$ и $B$ составляет весь класс, то есть 1.

$|A \cup B| = 1$

Нам нужно найти, какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча. Это соответствует пересечению множеств $A$ и $B$, то есть $|A \cap B|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Из этой формулы можно выразить искомую величину — пересечение множеств:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Подставим известные нам значения в формулу:

$|A \cap B| = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 1$

Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Теперь выполним сложение и вычитание:

$|A \cap B| = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - 1 = \frac{7}{6} - 1$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 6 ($1 = \frac{6}{6}$):

$|A \cap B| = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6}$

Таким образом, $\frac{1}{6}$ класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча.

Ответ: $\frac{1}{6}$

88. Часть студентов института изучает английский язык, часть — французский. Какая часть студентов изучает оба языка, если $\frac{3}{4}$ всех студентов изучает английский и $\frac{1}{3}$ — французский?

Примем общее количество студентов института за 1. Доля студентов, изучающих английский язык, составляет $ \frac{3}{4} $. Доля студентов, изучающих французский язык, составляет $ \frac{1}{3} $.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Если мы сложим долю студентов, изучающих английский язык, и долю студентов, изучающих французский, то те студенты, которые изучают оба языка, будут посчитаны дважды.

Найдем сумму этих долей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12: $ \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} $

Сумма оказалась больше 1 (общей доли всех студентов). Это означает, что существует группа студентов, которую мы посчитали дважды — это и есть студенты, изучающие оба языка. Величина, на которую сумма превышает 1, как раз и равна доле студентов, изучающих и английский, и французский.

Вычтем из полученной суммы 1, чтобы найти эту долю: $ \frac{13}{12} - 1 = \frac{13}{12} - \frac{12}{12} = \frac{1}{12} $

Следовательно, $ \frac{1}{12} $ всех студентов изучает оба языка.

Ответ: $ \frac{1}{12} $

89. Масса наибольшего количества соли, которое растворяется в воде, составляет $\frac{9}{25}$ массы воды. Сколько килограммов соли растворится в $\frac{5}{6}$ ведра воды, если ведро вмещает 12 кг воды?

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти массу воды, а затем рассчитать массу соли, которая может в ней раствориться.

1. Найдём массу воды.

По условию, у нас есть $\frac{5}{6}$ ведра воды, а полное ведро вмещает 12 кг. Чтобы найти массу имеющейся воды, нужно умножить вместимость полного ведра на данную долю:

$12 \times \frac{5}{6} = \frac{12 \times 5}{6} = \frac{60}{6} = 10$ кг воды.

2. Найдём массу соли.

Известно, что максимальная масса соли, которая может раствориться, составляет $\frac{9}{25}$ от массы воды. Теперь, зная, что у нас 10 кг воды, мы можем вычислить соответствующую массу соли:

$10 \times \frac{9}{25} = \frac{10 \times 9}{25} = \frac{90}{25}$ кг.

Для удобства сократим полученную дробь на 5 и переведем её в десятичный вид:

$\frac{90}{25} = \frac{18}{5} = 3,6$ кг.

Ответ: 3,6 кг.

90. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял $\frac{7}{10}$ всех денег, а жена — 690 р. Сколько было всех денег?

Для решения задачи сначала определим, какую часть денег из сундука взяла жена.

1. Примем всю сумму денег в сундуке за 1 (единицу). Муж взял $\frac{7}{10}$ всех денег. Чтобы найти долю жены, вычтем долю мужа из общей суммы:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Следовательно, жена взяла $\frac{3}{10}$ всех денег.

2. Из условия известно, что сумма, которую взяла жена, составляет 690 рублей. Это означает, что $\frac{3}{10}$ от всей суммы денег равны 690 рублям.

3. Теперь найдем, сколько всего денег было в сундуке. Если $\frac{3}{10}$ от целого составляют 690, то чтобы найти целое, нужно число разделить на дробь:

$690 \div \frac{3}{10} = 690 \cdot \frac{10}{3} = \frac{690 \cdot 10}{3}$

Сократим 690 и 3 ( $690 \div 3 = 230$ ):

$230 \cdot 10 = 2300$ (рублей)

Таким образом, в сундуке было 2300 рублей.

Ответ: 2300 рублей.

91. Купивши комод за 36 р., я потом вынужден был продать его за $\frac{7}{12}$ цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

Чтобы определить, сколько рублей было потеряно при продаже, нужно выполнить два действия: сначала найти цену продажи комода, а затем вычесть эту цену из первоначальной стоимости.

1. Вычислим цену, за которую комод был продан. Она составляет $ \frac{7}{12} $ от первоначальной цены в 36 рублей. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту часть (дробь):

$36 \cdot \frac{7}{12} = \frac{36 \cdot 7}{12}$

Сократим 36 и 12 на 12:

$3 \cdot 7 = 21$ рубль.

Таким образом, комод был продан за 21 рубль.

2. Теперь найдем сумму денежной потери. Для этого из первоначальной цены вычтем цену продажи:

$36 - 21 = 15$ рублей.

Ответ: 15 рублей.

92. Мастер сплавил 3 куска серебра в $1/4$ фунта, в $1/6$ фунта и в $1/8$ фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р. да за работу взял 8 р.?

Чтобы найти, сколько денег получил мастер, нужно сначала определить общую массу серебра, затем рассчитать его стоимость и, наконец, прибавить к этой стоимости плату за работу.

1. Находим общую массу серебра.
Для этого складываем массы трех кусков: $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} $$ Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 6 и 8 — это 24. $$ \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24} $$ Складываем числители: $$ \frac{6 + 4 + 3}{24} = \frac{13}{24} $$ Общая масса серебра составляет $ \frac{13}{24} $ фунта.

2. Рассчитываем стоимость серебра.
Стоимость одного фунта серебра — 24 рубля. Чтобы найти стоимость $ \frac{13}{24} $ фунта, нужно массу умножить на цену: $$ \frac{13}{24} \cdot 24 = 13 $$ Стоимость серебра составляет 13 рублей.

3. Находим общую сумму, полученную мастером.
Общая сумма состоит из стоимости серебра и платы за работу. $$ 13 \text{ р.} + 8 \text{ р.} = 21 \text{ р.} $$ Мастер получил 21 рубль.

Ответ: 21 рубль.

93. Из первого крана за 2,5 мин наливается столько воды, сколько из второго за 3 мин. За сколько минут можно наполнить бак объёмом 66 л через эти два крана, если через второй кран в минуту наливается 15 л воды?

Для решения этой задачи сначала найдем производительность первого крана.

1. Вычислим, сколько воды наливается из второго крана за 3 минуты. Производительность второго крана составляет 15 литров в минуту.
$15 \text{ л/мин} \times 3 \text{ мин} = 45 \text{ л}$

2. По условию, из первого крана за 2,5 минуты наливается столько же воды, то есть 45 литров. Теперь мы можем найти производительность первого крана (скорость поступления воды в литрах в минуту), разделив объем на время.
$\frac{45 \text{ л}}{2,5 \text{ мин}} = 18 \text{ л/мин}$

3. Далее найдем общую производительность двух кранов, когда они открыты одновременно. Для этого сложим их производительности.
$18 \text{ л/мин} + 15 \text{ л/мин} = 33 \text{ л/мин}$

4. Теперь, зная общую производительность и объем бака (66 литров), мы можем найти время, необходимое для его заполнения. Для этого разделим объем бака на общую производительность.
$\frac{66 \text{ л}}{33 \text{ л/мин}} = 2 \text{ мин}$

Ответ: 2 минуты.

94. Одна бригада за день выполняет $ \frac{1}{6} $ задания, другая $ \frac{1}{12} $ задания. За сколько дней при совместной работе бригады выполнят это задание?

Для решения этой задачи необходимо найти общую производительность двух бригад, то есть какую часть задания они выполняют вместе за один день. Для этого нужно сложить их индивидуальные производительности.

Производительность первой бригады: $ \frac{1}{6} $ задания в день.

Производительность второй бригады: $ \frac{1}{12} $ задания в день.

1. Найдем совместную производительность, сложив производительности каждой бригады:

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{12} $

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 12 — это 12.

$ \frac{1 \times 2}{6 \times 2} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Таким образом, работая вместе, бригады за один день выполняют $ \frac{1}{4} $ всего задания.

2. Теперь найдем, за сколько дней они выполнят все задание. Все задание принимается за 1. Чтобы найти время, нужно объем работы (1) разделить на совместную производительность ($ \frac{1}{4} $):

$ 1 \div \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 $ (дня)

Ответ: 4 дня.

95. Через одну трубу за минуту наполняется $\frac{1}{50}$ бассейна, через другую $-\frac{1}{75}$ бассейна. За сколько минут бассейн наполнится через обе трубы?

Для того чтобы определить, за какое время бассейн наполнится при одновременной работе двух труб, необходимо сначала найти их общую производительность, то есть какую часть бассейна они наполняют вместе за одну минуту.

1. Сложим производительности первой и второй трубы:

Производительность первой трубы: $ \frac{1}{50} $ бассейна в минуту.
Производительность второй трубы: $ \frac{1}{75} $ бассейна в минуту.

Общая производительность = $ \frac{1}{50} + \frac{1}{75} $

2. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 50 и 75 является 150.

$ \frac{1}{50} + \frac{1}{75} = \frac{1 \cdot 3}{50 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{75 \cdot 2} = \frac{3}{150} + \frac{2}{150} = \frac{3+2}{150} = \frac{5}{150} $

3. Сократим полученную дробь:

$ \frac{5}{150} = \frac{1}{30} $

Таким образом, за одну минуту через обе трубы наполняется $ \frac{1}{30} $ часть бассейна.

4. Чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн (1 целая часть), нужно разделить 1 на общую производительность:

$ t = 1 \div \frac{1}{30} = 1 \cdot \frac{30}{1} = 30 $ минут.

Ответ: бассейн наполнится через обе трубы за 30 минут.