Номер 88, страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 88, страница 282.

Условие.

88. Часть студентов института изучает английский язык, часть — французский. Какая часть студентов изучает оба языка, если $\frac{3}{4}$ всех студентов изучает английский и $\frac{1}{3}$ — французский?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Примем общее количество студентов института за 1. Доля студентов, изучающих английский язык, составляет $ \frac{3}{4} $. Доля студентов, изучающих французский язык, составляет $ \frac{1}{3} $.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений. Если мы сложим долю студентов, изучающих английский язык, и долю студентов, изучающих французский, то те студенты, которые изучают оба языка, будут посчитаны дважды.

Найдем сумму этих долей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12: $ \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} $

Сумма оказалась больше 1 (общей доли всех студентов). Это означает, что существует группа студентов, которую мы посчитали дважды — это и есть студенты, изучающие оба языка. Величина, на которую сумма превышает 1, как раз и равна доле студентов, изучающих и английский, и французский.

Вычтем из полученной суммы 1, чтобы найти эту долю: $ \frac{13}{12} - 1 = \frac{13}{12} - \frac{12}{12} = \frac{1}{12} $

Следовательно, $ \frac{1}{12} $ всех студентов изучает оба языка.

Ответ: $ \frac{1}{12} $