Номер 81, страница 281 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 81, страница 281.

Условие.

81. Стоя неподвижно на ступени эскалатора метро, человек поднимается вверх за 1 мин. Тот же человек, взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, поднимается вверх за 40 с. За какое время тот же человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_э$ – скорость эскалатора.
• $v_ч$ – скорость человека относительно ступеней эскалатора.
• $t_1$ – время подъема человека, стоящего на движущемся эскалаторе.
• $t_2$ – время подъема человека по неподвижному эскалатору.
• $t$ – искомое время подъема человека по движущемуся эскалатору.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$t_2 = 40 \text{ с}$

Решение:

1. Рассмотрим первый случай: человек стоит на движущемся эскалаторе. Его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$. За время $t_1$ он преодолевает расстояние $L$.

$L = v_э \cdot t_1$

Отсюда можно выразить скорость эскалатора:

$v_э = \frac{L}{t_1}$

2. Рассмотрим второй случай: человек взбегает по неподвижному эскалатору. Его скорость относительно земли равна его собственной скорости $v_ч$. За время $t_2$ он преодолевает то же расстояние $L$.

$L = v_ч \cdot t_2$

Отсюда выразим собственную скорость человека:

$v_ч = \frac{L}{t_2}$

3. Теперь рассмотрим третий случай: человек взбегает по движущемуся эскалатору. Его скорость относительно земли является суммой скорости эскалатора и его собственной скорости.

$v_{общ} = v_э + v_ч$

За искомое время $t$ он должен преодолеть расстояние $L$ с этой общей скоростью:

$L = v_{общ} \cdot t = (v_э + v_ч) \cdot t$

4. Подставим в последнее уравнение выражения для $v_э$ и $v_ч$, полученные в пунктах 1 и 2:

$L = (\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_2}) \cdot t$

Поскольку длина эскалатора $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L$:

$1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot t$

Выразим отсюда искомое время $t$:

$t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Приведем дробь в знаменателе к общему знаменателю:

$t = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

5. Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{2400}{100} = 24 \text{ с}$

Ответ: человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору за 24 секунды.